有家駅の看板の問題

2008年の4月を持ってこの島原鉄道 の島原外港～加津佐の路線が廃止され ます。この路線の中ほどに 有家（アリエ）駅があり、この駅も 廃駅となるわけで有家駅の看板の 問題は↑の画像の左上にありました。

2015年6月の有家駅

2026年7月、自転車道になっています。

有家駅の看板の問題  　 ＡＤ∥ＢＣの台形ＡＢＣＤに おいて∠ＡＢＤ＝　ａ　、 ∠ＤＢＣ＝　ｂ　、∠ＡＣＢ＝　ｃ　 が与えられたとき　それぞれの ∠ＤＣＡ＝ｘ　を求めなさい。 　　（１）　ａ＝５０，ｂ＝３０，ｃ＝２０　 　　（２）　ａ＝７０，ｂ＝８０，ｃ＝２０　 　 こんな問題でしたが、（１）や （２）の角度を調べると下の 問題のようになります。

問題(１)

上の（１）の問題は「ラングレーの問題」の 　（２０，８０，５０，３０）　になります。

問題(１)の解答その１

上図の点ＡよりＢＣ上に ∠ＢＡＦ＝２０°∠ＢＡＧ＝６０°を 満たす点Ｆ，Ｇをとる。 ∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ＝５０　から、ＡＢ＝ＡＥ、 ∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ＝８０　から、 ＡＢ＝ＡＦ、∠ＦＡＥ＝６０　とＡＥ＝ＡＦ　から　 △ＡＦＥは正三角形 ∠ＦＡＧ＝∠ＦＧＡ＝４０　から、ＡＦ＝ＦＧ △ＥＦＧ　はＦＥ＝ＦＧ　の二等辺三角形より　 ∠ＥＦＧ＝４０、∠ＦＧＥ＝７０　 よって　∠ＥＧＡ＝３０ △ＡＧＥと△ＡＤＥにおいてＡＥ＝ＡＥ、 ∠ＥＡＧ＝∠ＥＡＤ＝２０ ∠ＡＥＧ＝∠ＡＥＤ＝１３０ △ＡＧＥ≡△ＡＤＥ　これから 　△ＡＧＣ≡△ＡＤＧ　よって 　∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＧ＝２０ 　 答え　２０°

問題（１）の解答その２

上の図のABを一辺とする正三角形ABF を作ると∠ADB＝３０より、点Fは △ABDの外心で∠FBD=∠ＦDB＝１０　 DFとBCの交点をGとすると、 ∠BFG=∠GBF＝２０　より、BG=GF　と　 AB=AF　から、四角形ABGFは タコ形になり直線AGはその対称軸になる ∠GAF＝３０　から、∠GAD=７０、△ADGは 頂角４０の二等辺三角形∠ACG=２０から、 点Dは△AGCの外心　よって、　 △ADCは二等辺三角形、　∠DCA=20 　 答え　２０°

問題（２）

（２）の問題は「ラングレーの問題」の （２０，１０，７０，８０）　になります。

問題（2）の解答その１

上図の△ＡＢＤの外心ＥはＡＣ上 にあり、∠ＡＢＥ＝１０を満たす。 この時、△ＥＤＢは正三角形 から、ＥＢ＝ＤＢ、また、 ∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ＝２０ 　から、ＢＥ＝ＢＣ　よって、 ＢＤ＝ＢＣの二等辺三角形　 ∠ＤＣＢ＝５０　したがって、 ∠ＡＣＤ＝３０° 　　 答え　３０°

問題（2）の解答その２

上図の ＢＤの延長線上に点Ｅを ∠ＢＡＥ＝７０となるようにとる 　ＡＥ＝ＢＥ　２∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＢ　 点ＣはＥを中心に半径ＡＥの 円周上にある。（点Ｅは△ＡＢＣ の外心）∠ＢＥＣ＝２∠ＢＡＣ＝２０　 △ＡＥＣは正三角形で　 ＡＣ＝ＣＥ　△ＡＤＥは 二等辺三角形より　ＡＤ＝ＤＥ　また 　ＤＣ共通から　△ＡＤＣ≡△ＥＤＣ 　　∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＤ ∠ＡＣＤ＝６０÷２＝３０ 　　 　 答え　３０°