有家駅の看板の問題

2008年の4月を持ってこの島原鉄道 の島原外港～加津佐の路線が廃止 されます。この路線の中ほどに 有家（アリエ）駅があり、この駅も 廃駅となるわけで有家駅の看板の 問題は↑の画像の左上にありました。

2015年6月の有家駅

2026年7月、自転車道になっています。

有家駅の看板の問題  　 ＡＤ∥ＢＣの台形ＡＢＣＤに おいて∠ＡＢＤ＝ａ ∠ＤＢＣ＝ｂ　、∠ＡＣＢ＝ｃ が与えられたときそれぞれの ∠ＤＣＡ＝ｘ　を求めなさい。 （１）　ａ＝50，ｂ＝30，ｃ＝20 （２）　ａ＝70，ｂ＝80，ｃ＝20 　 　 こんな問題でしたが、（１）や （２）の角度を調べると下の 問題のようになります。

　

問題（１）
（１）の問題はラングレーの問題 の(20,80,50,30)になります。
問題（１）の解答その１ 　上図の点AよりBC上に 　∠BAF＝２０　∠BAG＝６０を 　満たす点Ｆ，Ｇをとる。 　∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ＝５０　から、 　ＡＢ＝ＡＥ、 　∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ＝８０　から、 　ＡＢ＝ＡＦ、∠ＦＡＥ＝６０、 　ＡＥ＝ＡＦ　△ＡＦＥは正三角形 　∠ＦＡＧ＝∠ＦＧＡ＝４０　から、 　ＡＦ＝ＦＧ　△ＥＦＧ　は 　ＦＥ＝ＦＧ　の二等辺三角形 　∠ＥＦＧ＝４０、∠ＦＧＥ＝７０ 　よって　∠ＥＧＡ＝３０ 　△ＡＧＥと△ＡＤＥにおいて 　ＡＥ＝ＡＥ 　∠ＥＡＧ＝∠ＥＡＤ＝２０ 　∠ＡＥＧ＝∠ＡＥＤ＝１３０ 　△ＡＧＥ≡△ＡＤＥ　これから 　△ＡＧＣ≡△ＡＤＧ　よって 　∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＧ＝２０ 　　　　∠ＡＣＤ＝２０°
問題（１）の解答その２ 　上の図のABを一辺とする 　正三角形ABFを作ると 　∠ADB＝３０より、点Fは 　△ABDの外心で 　∠FBD=∠ＦDB＝１０ 　DFとBCの交点をGとすると、 　∠BFG=∠GBF＝２０　より、 　BG=GF　とAB=AF　から、 　四角形ABGFはカイト形になり 　直線AGはその対称軸になる 　∠GAF＝３０　から、∠GAD=７０ 　△ADGは頂角４０の二等辺三角形 　∠ACG=２０から、点Dは△AGCの 　外心　よって、 　△ADCは二等辺三角形 　∠DCA=20

問題（２）
（２）の問題は「ラングレーの問題」 では(20,10,70,80)になります。
問題（２）の解答その１ 　上図の△ＡＢＤの外心Ｅは 　ＡＣ上にあり、∠ＡＢＥ＝１０ 　を満たす。この時、 　△ＥＤＢは正三角形 　から、ＥＢ＝ＤＢ、また、 　∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ＝２０ 　から、ＢＥ＝ＢＣ　よって、 　ＢＤ＝ＢＣの二等辺三角形 　∠ＤＣＢ＝５０　したがって 　∠ＡＣＤ＝３０ 　∠ＡＣＤ＝３０°
問題（２）の解答その２   　上図のＢＤの延長線上に点Ｅを 　∠ＢＡＥ＝７０となるようにとる 　ＡＥ＝ＢＥ　２∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＢ　 　点ＣはＥを中心に半径ＡＥの 　円周上にある。（点Ｅは△ＡＢＣ 　の外心）∠ＢＥＣ＝2∠ＢＡＣ＝20 　△ＡＥＣは正三角形で　 　ＡＣ＝ＣＥ　△ＡＤＥは 　二等辺三角形より　ＡＤ＝ＤＥ、 　ＤＣ共通から　△ＡＤＣ≡△ＥＤＣ 　　∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＤ 　∠ＡＣＤ＝６０÷２＝３０ 　　　　答え　３０°