四角形の３つの重心を位置ベクトルで表し、３つの重心が一致する条件を考察することで、
ベクトルの有用性を感じることが、この教材のねらいである。
「三角形の３種類の重心②」「四角形の重心と面積比」の続きで行うとよい。
なお、表記上、ベクトルは太字で表示する。
図１のような四角形OAPBに対して、基準とするベクトルを
OA＝a，OB＝b とし、AP＝pa＋qb（p＞0,q＞0）>とすると、
OG＝(1/3)(1＋s＋sp)a＋(1/3)(1＋sq)b
s＝(p＋q)/(p＋q＋1)より、
OG＝(1/3)[1＋{(p+q)(1+q)/(p+q+1)}]a＋(1/3)[1＋{(p+q)q/(p+q+1)}]bとなる。
の重心だから、APの中点Lに 2m、OBの中点Mに 2m の
重さのおもりがあるときの重心より、LMの中点Gが
重心となる。
よって、OG＝(OL＋OM)/2＝[(b/2)＋a＋{(pa＋qb)/2}]/2
OG＝(1/4)(2＋p)a＋(1/4)(1+q)b となる。
フレーム重心は、辺OA，辺OB，辺AP，辺PBに重さがある
ときの重心なので、それぞれの辺の中点 K，L，M，N
に、辺の長さに比例した重さ k，l，m，n のおもりがあるとして、
KMを m：k に内分する点Rに重さ k＋m 、LNを n：l に内分する点S
に重さ l＋n のおもりがあるときの重心となるから、
RSを l＋n：k＋m に内分する点Gが重心となる。
計算の都合上、AP＝c，BP＝dとおくと、
OR＝(kOK＋mOM)/(k＋m)＝[k(a/2)＋m{a＋(c/2)}]/(k＋m)
＝{(k＋2m)a＋mc}/2(k＋m)
OS＝(lOL＋nON)/(l＋n)＝[l(b/2)＋n{b＋(d/2)}]/(l＋n)
＝{(l＋2n)b＋nd}/2(l＋n)
よって、OG＝{(k＋m)OR＋(l＋n)OS}/(k＋l＋m＋n)
＝{(k＋2m)a＋mc＋(l＋2n)b＋nd}/2(k＋l＋m＋n)
ここで、c＝pa＋qb ，d＝a－b＋c
＝(1＋p)a＋(q－1)b より、
OG＝{(k＋2m)a＋mpa＋nqb＋(l＋2n)b＋n(1＋p)a＋n(q－1)b}/2(k＋l＋m＋n)
OG＝{k＋(2＋p)m＋n(1＋p)}a}＋{l＋mq＋n(1－q)b}/2(k＋l＋m＋n)
には違うことがわかる。しかし、p＝0，q＝1，k＝l＝m＝n の値を代入したとき、つまり
ひし形のときは３つの重心が一致することがわかる。
p,qを具体的な数値にして計算すると易しい問題となる。