頂点と重心を通る直線は三角形の面積を2分するが、三角形の重心を通る直線はすべて面積
を2分するかどうかを、ベクトルを使って考察し、ベクトルの有用性を感じることが、この教材の
ねらいである。数学Ⅱにある「面積を二等分する直線」の続きで行うとよい。
なお、表記上ベクトルは太字で表示する。
図１において、OA＝a，OB＝b とおくと、OG＝(a＋b)/3
任意の直線ｌについて、OL：LA＝ｓ：1－s とおくと、OL＝sa
LG＝{(a＋b)/3}－sa＝{(1－3s)a＋b}/3、LM＝kLG とおくと、
LM＝{k(1－3s)a＋kb}/3、
OM＝OL＋LM
＝sa＋{k(1－3s)a＋kb}/3＝{3s＋k(1－3s)a＋kb}/3
点MはOB上にあるので、3s＋k(1－3s)＝0、k＝3s/(3s－1) より、
OM＝s/(3s－1)b よって、∠AOB＝θ とおくと、
⊿OLMの面積は、S＝(1/2)|sa||s/(3s－1)b|sinθ＝(1/2){s2/(3s－1)｝|a||b|sinθ
⊿OABの面積は、(1/2)|a||b|sinθ なので、
ゆえに、s2/(3s－1)＝1/2 になるのは、2s2－3s＋1＝0 より、ｓ＝1,1/2 のときのみとなる。
s＝1 のときは、直線ｌが頂点Aと線分OBの中点を通るとき、
s＝1/2 のときは、直線ｌが頂点Bと線分OAの中点を通るときであり、
ともに、三角形の重心を通る直線のうち、三角形の面積を2分する直線は頂点を通る直線だけ
ということがわかる。点Lと点Mを他の辺に取っても同様である。