じゃんけんであいこの確率②

back

漸化式

n人でじゃんけんしたときあいこになる確率を、漸化式を使って求めることで、

漸化式の有用性を感じ、漸化式の理解を深めることが、この教材のねらいである。

n人でじゃんけんしたときあいこになる確率を、漸化式を使って求める。

数学Ａにある「じゃんけんであいこになる確率①」の続きで行うとよい。

ｎ≧3において、あいこになるためには、

ｎ－1人の出し方が全部同じ場合、ｎ人目は同じものを出さなくてはならないので1通り、

ｎ－1人の出し方が3種類つまり全部同じでないあいこの場合、ｎ人目はなんでもよいので

3通り、ｎ－1人の出し方が2種類つまりあいこでない場合、ｎ人目は他のｎ－1人とは違うもう

1種類のものを出さなくてはならないので1通り、

と考えると、ｎ人でじゃんけんをしてあいこになる確率はp_nは、

p_n＝(3/3^n-1)×(1/3)＋(p_n-1－(3/3^n-1))×1＋(1－p_n-1)×(1/3)

　＝(2/3)p_n-1－(2/3^n-1)＋(1/3)となる。

p_n+1＝(2/3)p_n－(2/3ⁿ)＋(1/3)、p₂＝(1/3)を解くと、

p_n+1－1＝(2/3)(p_n－1)－(2/3ⁿ)

p_n－1＝a_nとおくと、a_n+1＝(2/3)a_n－(2/3ⁿ)、a₂＝(1/3)－1＝－(2/3)

両辺に3ⁿをかけて、3ⁿ・a_n+1＝2・3^n-1・a_n－2

b_n＝3^n-1・a_nとおくと、b_n+1＝2b_n－2、b₂＝3×｛－(2/3)｝＝－2

b_n+1－2＝2(b_n－2)、b₂－2＝－2－2＝－4 よって、b_n－2＝－4・2^n-2より、

b_n＝－2ⁿ＋2、a_n＝(－2ⁿ＋2)/3^n-1

よって、p_n＝1＋(－2ⁿ＋2)/3^n-1より、p_n＝(3^n-1－2ⁿ＋2)/3^n-1となる。

ちなみに10人でじゃんけんすると、p₁₀＝(3⁹－2¹⁰＋2)/3⁹＝18661/19683（≒0.948）　となる。