円の分割という操作的な活動を通して、数列の漸化式の理解を深め、数列を一般項で表す
必要性を感じ、数列に興味をもつことが、この教材のねらいである。
円周上にｎ個の点を取るとき、それらを結ぶ弦によって円はいくつの領域に分割される
だろうか。ただし、どの弦も平行でなく、また３本以上の弦が１点で交わることのないとする。
円が分割される領域の数をａｎとすると、
ｎ＝１のときは円は分割されないから
ａ１＝１である。
次に、ｎ＝２のときから順に図を書いて
考察してみると、図１のようになり、
領域を数えると、
ａ２＝２，ａ３＝４，ａ４＝８，ａ５＝16となる。
このことから、ａ６を推測させると、
ａ６＝32で、さらにａｎ＝２ｎ－１と推測する
人が多いであろう。しかし、実はこれは正しくない。
実際に図２のように図を書いて、領域を数えてみる
と、ａ６＝31となる。このしくみについて考えてみよう。
まずは円周上にとる点の数を５個から６個に増やした
ときで考える。
図２で①～⑤の点に対して⑥の点を増やしたとき、
点の番号を ｋ とすると、
⑥の隣りの点である①に向かって弦を引いたとき、
すなわち ｋ＝１のときは、領域の数が１つ増えるだけである。
次に、⑥から⑥の２つ隣りの点②に向かって弦を引いたとき、すなわち ｋ＝２のときは、
交点の数は⑥と②の間にある１個の点①から、⑥と②以外の点③、④、⑤の３個の点に向かっ
て引く弦の数と同じになるので、交点は１×３＝３個であることがわかる。
このとき、(円周上の点が５個のときにあった弦と新たに引いた弦との交点の数＋１) だけ
できる領域が増えるので、領域は１＋１×３＝４つ増える。
また、⑥から⑥の３つ隣りの点③に向かって弦を引いたとき、すなわち ｋ＝３ のときは、
交点の数は⑥と③の間にある２個の点①と②からそれぞれ、⑥と③以外の点④、⑤の２個の点
に向かって引く弦の数と同じになるので、交点は２×２＝４個であることがわかる。
このとき、領域が１＋２×２＝５つ増える。
同様に、ｋ＝４のときは１＋３×１＝４つ増え、ｋ＝５のときは１つ増える。
これを一般化すると、点の番号 ｋ に対して、１＋（ｋ－１）(５－ｋ）つ増えることになるから、
ａ６－ａ５＝(k=1Σ5)｛１＋(ｋ－１）(５－ｋ）｝であることがわかる。
よって、円周上にとる点の数をｎ個から(ｎ＋１)個に増やしたときの漸化式は、
ａｎ＋１－ａｎ＝(k=1Σn)｛１＋(ｋ－１）(ｎ－ｋ）｝となる。
ａｎ＋１－ａｎ＝ｎ＋(ｎ3－３ｎ2＋２ｎ)/6 と計算できるから、
この漸化式を解くと、ａｎ＝ａ１＋(k=1Σn-1)｛ｋ＋(ｋ3－３ｋ2＋２ｋ)/6 ｝より、
ａｎ＝１＋ｎ(ｎ－１)/2＋ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)(ｎ－３)/24 となる。
これは、ａｎ＝１＋ｎＣ２＋ｎＣ４ と見ることのできる式である。
このｎＣ２が弦の本数、ｎＣ４が弦と弦の交点の個数であると考えると、この式は理解できる。
この一般項から、ａ７を計算すると、ａ７＝１＋７Ｃ２＋７Ｃ４＝１＋21＋35＝57となる。
ところで、この数列｛ａｎ｝；｛1,2,4,8,16,31,57,…｝の階差数列を３回とると、
｛ｂｎ｝；｛1,2,4,8,15,26,…｝
｛ｃｎ｝；｛1,2,4,7,11,…｝
｛ｄｎ｝；｛1,2,3,4,…｝ となり、
ｄｎ＝ｎ と推測すると、
ｃｎ＝１＋(k=1Σn-1)ｋ
＝(1/2)(ｎ2－ｎ＋２)
ｂｎ＝１＋(k=1Σn-1)(1/2)(ｎ2－ｎ＋２)
＝(1/6)(ｎ3－３ｎ2＋８ｎ)
ａｎ＝１＋(k=1Σn-1)(1/6)(ｎ3－３ｎ2＋８ｎ)
＝(1/24)(ｎ4－６ｎ3＋23ｎ2－18ｎ＋24)
となり、これは、ａｎ＝１＋ｎ(ｎ－１)/2＋ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)(ｎ－３)/24 と一致する。