コインを投げて表裏そろう期待値

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コインの表裏の出方を無限等比級数を用いて考察することで、この内容に興味をもち、

期待値、数列、極限の有用性を感じるが、この教材のねらいである。

１枚のコインを何回か投げて、少なくとも表と裏が１枚ずつそろう平均の試行回数は何回か？

１回目にどちらかが出るので、２回目以降にもう一方が出るための期待値Ｅは、

Ｓ＝1・(1/2)＋２・(1/2)²＋1・(1/2)³＋…＋ｎ・(1/2)ⁿとすると、

Ｅ＝lim_(ｎ→∞)Ｓとなる。Ｓは(等差数列×等比数列)の和なので、

　　　　　　Ｓ＝1×(1/2)＋2×(1/2)²＋3×(1/2)³＋…＋ｎ×(1/2)ⁿ

－） (1/2)Ｓ＝　　　　　　　1×(1/2)²＋2×(1/2)³＋…＋(ｎ－1)×(1/2)ⁿ＋ｎ×(1/2)^n＋1

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　　　(1/2)Ｓ＝　 (1/2)＋(1/2)²＋(1/2)³＋…＋(1/2)ⁿ－ｎ×(1/2)^n＋1

　　　　　Ｓ＝1＋(1/2)¹＋(1/2)²＋(1/2)³＋…＋(1/2)^n－1－ｎ×(1/2)ⁿ

ここで、lim_(ｎ→∞)(n/2ⁿ)＝０なので、

Ｅ＝lim_(ｎ→∞)Ｓ＝２－０＝２となり、少なくとも表と裏が1枚すつそろう回数の平均は３回である

ということがわかる。