三角関数の定積分を利用して求めた式で、現実事象を分析・考察することで、
単元の有用性を感じ、数学に興味をもつことが、この教材のねらいである。
紙に等間隔に線を引き、その上から針を落とし、針が線と交わる相対度数を
求める実験を考える。実験では針ではなく爪楊枝を用いるとよい。
これはビュフォン(フランス1707～)が円周率を求めるために行った実験として有名である。
まず数学的確率を求める。図のように、針の長さを L、平行線の間隔をｄ（ L＜ｄ）とし、
針の中点Ｍから最も近い平行線までの距離をｙ、平行線に直交する
直線と針の正の最小角をθ（0≦θ≦(π/2) ）とする。
すると0≦ｙ≦(d/2)より、ｙとθがとりうる全面積は、
図のように(π/2)×(d/2)＝(πd/4) になる。
そのうち針が線と交わる範囲は、ｙ≦(L/2)cosθとなるから、
その面積は、図のように∫0(π/2)(L/2)cosθdθ＝(L/2) となる。
ゆえに、交わる確率は、(L/2)/(πd/4)＝2L/πd となる。
実際に実験をして相対度数を求めると、円周率を求めることがで
きる。この理論は、野生の動物の個数を数えることに応用できる。
針の長さを動物の1日当たりの行動距離とし、ヘリコプターで直線に
飛んで線と交わる足跡の数を数えることで、野生の動物の個数の概数がわかる。
例えば、ある雪山のうさぎの行動範囲を60ｍ(＝L)、調査した線の間隔を100ｍ(＝d) とし、
調査で発見したうさぎの痕跡・足跡の数を50匹とすると、
雪山全体のうさぎの数 ｘ として、(50/x)＝(2×60/100π) より、ｘ≒132匹となる。