二項定理を違う角度から考察し発展的に考えることで、漸化式的な見方考え方を感得し、
単元に興味をもつことが、この教材のねらいである。
(ａ＋ｂ)8 の係数を二項定理で順に求めていく場合を考える。
例えば、8Ｃ3＝(8×7×6)/(3×2×1) で、8Ｃ4＝(8×7×6×5)/(4×3×2×1)＝(5/4)8Ｃ3
なので、同様に考えると、8Ｃr＝ {(9-r)/r}8Ｃr－1 がいえる。
これにより、8Ｃ0＝1から, 8Ｃ1＝(8/1)8Ｃ0＝8×1＝8,
8Ｃ2＝(7/2)8Ｃ1＝(7/2)×8＝28, 8Ｃ3＝(6/3)8Ｃ2＝(6/3)×28＝56 ,
8Ｃ4＝(5/4)8Ｃ3＝(5/4)×56＝70, 8Ｃ5＝(4/5)8Ｃ4＝(4/5)×70＝56 ,
8Ｃ6＝(3/6)8Ｃ5＝(3/6)×56＝28, 8Ｃ7＝(2/7)8Ｃ6＝(2/7)×28＝8 ,
8Ｃ8＝(1/8)8Ｃ7＝(1/8)×8＝1と、ひとつひとつ計算しなくても、漸化式的に次々と
求めていくことができる。漸化式は数学Ｂで扱うが、それにつながる発展教材となる。
一般的には、 nＣr＝{(n－r＋1)/r}nＣr－1 がいえる。