バクテリアの増え方

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指数の拡張

バクテリアの増え方を例にして、負の数や有理数の指数のイメージを深め、指数の拡張の

有用性を感じるのが、この教材のねらいである。

①負の数の指数

指数の拡張について、２^０、２^－１、２^－２・・・をいくつと定義すればよいかを考える。

まず下の表から考えて、２^０＝１、２^－ｎ＝１/２^ｎの定義をイメージする。

次に以下の問題を考える。

　分裂して重さが１時間で２倍に増えるバクテリアが１ｇある。

　このバクテリアの１時間前、２時間前の重さは何ｇだろうか？

このバクテリアの１時間後の重さは１×２^１＝２^１＝２（ｇ）、

このバクテリアの２時間後の重さは１×２^２＝２^２＝４（ｇ）、

なので、バクテリアの ｔ 時間後の重さは２^ｔ　で表すことができる。

このバクテリアの現在（０時間後）の重さは１ｇなので、２^０＝１となることがイメージできる。

また、このバクテリアの１時間前の重さは２^－１＝１／２（ｇ）となり、

２時間前の重さは２^－２＝１／４（ｇ）となることがイメージできる。

②有理数の指数

次に指数の拡張について、２^１/２、２^１/３、２^２/３などをいくつと定義すればよいかを考える。

上の表から考えて、２^ｍ/ｎ＝^ｎ√２^ｍの定義をイメージする。

次に以下の問題を考える。

　分裂して重さが１時間で２倍に増えるバクテリアが１ｇある。

　このバクテリアの１/２時間後（３０分後）、１/３時間後（２０分後）、２/３時間後（４０分後）

　の重さはそれぞれ何ｇだろうか？

これによると、このバクテリアの１/２時間後（３０分後）の重さは√２≒1.41（ｇ）となることが

わかる。また、このバクテリアの１/３時間後（２０分後）の重さは³√２≒1.26（ｇ）、

２/３時間後（４０分後）の重さは³√２^２＝³√４≒1.59（ｇ）となることがわかる。