リーマン予想
リーマン予想の概略について、説明します。1859年、ドイツの数学者リーマンは、以下の予想を立てました。
まず、ゼータ関数を次式で定義します。
ζ（s）＝1+2-s+3-s+4-s+5-s+・・・・・＝Σn=1〜∞ n-s
（式１）
次に、このゼータ関数を解析接続してから複素数全体（ただし、ｓ≠１）に拡張します。
そして、リーマンは、この拡張されたゼータ関数：ζ（ｓ）の自明ではない零点 ｓ は、ことごとく、
実部が 1/2 の直線上に存在する、であろう、と予想したのです。
なお、ここで、ζ（s）の零点とは、ζ（s）＝0 を満たす ｓ のことです。また、ζ（s）の自明な零点は、全ての負の偶数（-2, -4, -6, -8, ・・・）に
なります。
また、リーマンが上記の予想を立てた背景には、素数の研究が関係しています。リーマンは、素数の分布が有する規則性を追求して行く過程で、
上記の予想を立てたのです。
ところで、このリーマン予想は、残念ながら、現在まで、数学的には証明されていません。
ちなみに、2004年時点で、虚部の
小さい方から10兆個までの範囲における複素零点の全てが、リーマン予想を満たしている（実部が 1/2 になっている）ことが、
計算によって確認されています。こう言った計算結果もあり、数学者の多くはリーマン予想は正しい、と推測しているようです。
なお、解析接続について、補足説明しておきます。例えば、ζ（s）の零点の１つ：s＝-2 を（式１）に代入すると、∞になってしまいます。
すなわち、実際の計算では、（式１）を解析接続する必要があるのです。ここで、解析接続とは、簡単に言うと、数式を変形することを指します。
例えば、
Ｆ（r）＝1+r+r2+r3+r4+・・・・・＝Σn=0〜∞ rn
（式２）
と言う式は、-1＜r＜1 の範囲であれば、
Ｆ（r）＝(1-r)-1 （式３）
と言う式で、計算できます。次に、（式３）の定義域を、複素数全体（ただし、r≠１）に拡張してみます。すると、例えば、r＝2 を（式３）に代入すると、
計算できて、-1 になります。しかし、r＝2 を（式２）に代入すると、∞になってしまいます。このように、式の変形後に定義域が拡張できる場合、
その式の変形のことを、解析接続と呼んでいるのです。すなわち、（式２）の解析接続が（式３）になっているのです。
そして、（式１）についても、同様の方法によって、解析接続ができます。（式１）は、定義域を複素数全体（ただし、ｓ≠１）に拡張できるように、
変形できるのです。
参考書籍 ： 『リーマン予想を解こう』 黒川信重 著 技術評論社 2014年
参考資料 ： Wikipedia 『リーマン予想』
