モンスター群

群Ｇの部分群Ｈが、群Ｇの任意の元ａに対して、ａＨａ^－１＝Ｈ　を満たすとき、Ｈを正規部分群と言います。
群Ｇの正規部分群が単位群（単位元のみの群）と群Ｇの２つのみの場合、Ｇを単純群と言います。
単純群は、以下の４種類に大別されます。

素数位数の巡回群
５次以上の交代群
リー型の単純群
散在型単純群

散在型単純群は、２６個あります。そのうち、最も位数（＝群を構成する元の個数）の大きいものが、モンスター群です。

モンスター群の位数　　808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 　（およそ、8*10⁵³）
モンスター群の位数（素因数分解表示）　2⁴⁶*3²⁰*5⁹*7⁶*11²*13³*17*19*23*29*31*41*47*59*71

モンスター群では、196,883次の正方行列が、上記の個数だけあり、群を構成しています。この 196,883 は、上記素因数分解の最後の３素数の積：47*59*71＝196,883 に他なりません。また、24次元球に隣接する 24次元球の個数：196,560個に極めて近い数字です。

また、モンスター群の位数（およそ、8*10⁵³）は、全宇宙に存在する素粒子の総数に匹敵するのでは？　と言われるほど、とてつもなく大きな数です。