(x+y+z)7-x7-y7-z7 の因数分解
もし、(x+y+z)7-x7-y7-z7 を因数分解せよ、と言う問題が与えられたなら、
その解答はどうなるでしょうか？
その解答を考えましたので、以下に示します。
f (x,y,z)＝(x+y+z)7-x7-y7-z7 ---① とすると、
f (x,-x,z)＝(x-x+z)7-x7+x7-z7＝z77-z7＝0
であるから、
因数定理より、f (x,y,z) は x+y を因数にもつ。
f (x,y,z) は x,y,z の対称式であるから、同様にして、y+z , z+x も f (x,y,z) の因数である。
よって、f (x,y,z)＝(x+y)(y+z)(z+x)g (x,y,z) と表すことができ、g (x,y,z) は x,y,z に関する４次の対称式である。
また、x,y,z に関する４次の基本対称式は x4+y4+z4 ,
x3y+x3z+y3x+y3z+z3x+z3y ,
x2y2+y2z2+z2x2 ,
x2yz+y2xz+z2xy である。
ゆえに、g (x,y,z)＝a(x4+y4+z4)
+b(x3y+x3z+y3x+y3z+z3x+z3y)
+c(x2y2+y2z2+z2x2)
+d(x2yz+y2xz+z2xy) (a,b,c,d：定数) ---③
と表すことができ、①、②、③より、次式が得られる。
(x+y+z)7-x7-y7-z7
＝(x+y)(y+z)(z+x){a(x4+y4+z4)
+b(x3y+x3z+y3x+y3z+z3x+z3y)
+c(x2y2+y2z2+z2x2)
+d(x2yz+y2xz+z2xy)} ---④
④は、恒等式であるから、x,y,z に任意の値を代入しても成り立つ。
そこで、(x,y,z)＝(1,1,0), (2,-1,0), (2,-1,-1), (1,1,1) を④に代入すると、下記のようになる。
(x,y,z)＝(1,1,0) とすると、④の左辺＝27-1-1＝126 , ④の右辺＝2(2a+2b+c) より、
126＝2(2a+2b+c) ∴ 2a+2b+c＝63 ---⑤ を得る。
(x,y,z)＝(2,-1,0) とすると、④の左辺＝1-27+1＝-126 , ④の右辺＝-2(17a-10b+4c) より、
-126＝-2(17a-10b+4c) ∴ 17a-10b+4c＝63 ---⑥ を得る。
(x,y,z)＝(2,-1,-1) とすると、④の左辺＝0-27+1+1＝-126 , ④の右辺＝-2(18a-18b+9c) より、
-126＝-2(18a-18b+9c) ∴ 2a-2b+c＝7 ---⑦ を得る。
(x,y,z)＝(1,1,1) とすると、④の左辺＝37-1-1-1＝2184 , ④の右辺＝8(3a+6b+3c+3d) より、
2184＝8(3a+6b+3c+3d) ∴ 3a+6b+3c+3d＝273 ---⑧ を得る。
⑤－⑦ より 4b＝56 → b＝14 、これを⑤、⑥へ代入すると、2a+28+c＝63 → 2a+c＝35 ---⑨ 、
17a-140+4c＝63 → 17a+4c＝203 ---⑩ となる。
⑩－⑨×4 より 9a＝63 → a＝7 、これと b＝14 を⑦へ代入すると、14-28+c＝7 → c＝21 となる。
(a,b,c)＝(7,14,21) を⑧へ代入すると、21+84+63+3d＝273 → 3d＝105 → d＝35 となる。
よって、(a,b,c,d)＝(7,14,21,35) であるから、③より、
g (x,y,z)＝7{x4+y4+z4
+2(x3y+x3z+y3x+y3z+z3x+z3y)
+3(x2y2+y2z2+z2x2)
+5(x2yz+y2xz+z2xy)} ---⑪ となる。
なお、⑪の{ }内の項数は、3+2*6+3*3+5*3＝39＝3*13 であるから、{ }が因数分解できるなら、項数 3の因数と項数 13の因数に
分解できて、
項数 3の因数は１次の基本対称式：x+y+z になるはずである。
ところが、①より、f (x,y,-x-y)＝0-x7-y7+(x+y)7≠0 であるから、
x+y+z は因数にはなれない。また、x,y,z の対称式に含まれる項数は 3の倍数であることから、{ }は項数 13の因数には分解
できない。
これらの理由から、④の{ }部分は、これ以上因数分解できない。
以上より、(x+y+z)7-x7-y7-z7 を因数分解した結果は、
7(x+y)(y+z)(z+x){x4+y4+z4
+2(x3y+x3z+y3x+y3z+z3x+z3y)
+3(x2y2+y2z2+z2x2)
+5(x2yz+y2xz+z2xy)}
である。
