５次以上の方程式
５次以上の方程式の代数的解法が存在しないのは、５次以上の交代群が非可換単純群であるからです。
ここで、代数的解法が存在しないとは、方程式の解を、係数の４則演算
（加減乗除）と冪根（√ , etc.）で表わすことができない、と言うことです。
また、n次の交代群とは、n文字の交代群とも呼ばれ、n個の文字の
偶置換の全てで構成される群のことです。
また、非可換単純群とは、非可換群である単純群のことです。
偶置換と奇置換について
置換は、複数個の互換の積で表すことができますが、この互換の個数が偶数か奇数かによって、
偶置換または奇置換と呼ばれます。
可換群と非可換群について
群を構成する任意の元をａ,ｂとした時、積ａｂと積ｂａが同じなら可換群、
異なるなら非可換群と呼ばれます。
正規部分群と単純群について
単純群とは、群Ｇの部分群Ｈが、群Ｇの任意の元ａに対して、ａＨａ−１＝Ｈ を満たすとき、
Ｈを正規部分群と言います。
群Ｇの正規部分群が単位群（単位元のみの群）と群Ｇの２つのみの場合、Ｇを単純群と言います。
