モンティ・ホール問題
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（2009年9月145日）
１．オリジナルの問題 どれか一つの部屋の後ろには高級乗用車のキャデラックが置かれていますが、他の二つの部屋には山羊が一匹づつ繋がれています。もちろん、ゲストはキャデラックを当てたいと思っています。モンティはどの部屋にキャデラックがあるのか事前に知っています。
さて、ゲストは三つのドアの一つを選んで、例えば、Aのドアの前に立ったとします。残った二つのドアのうち少なくとも一つは山羊のドアです。それをCだったとすると、モンティはそれを知っていますから、Cのドアを開けてゲストに次のように言います。 「あなたはCを選ばなくて良かった。さて、あなたはAのドアを選んでいるが、今ならBに変えても良いですよ。」 さて、ゲストはAのドアを選んだままで良いのでしょうか、それともBのドアに変えるべきでしょうか。あなたがゲストならどうしますかといのがモンティ・ホール問題です。問題１とします。 最初のうちこの番組でゲストに選ばれた人の行動は、殆ど次のように考えてドアを変えませんでした。 「ドアは三つあるのでキャデラックが当たる確率は１／３であった。司会者のモンティは山羊の居る一つのドアを開けてくれたので、当たる確率は１／２にまで高くなった。選ぶドアをBに変えても当たる確率は１／２だし、もし変えて外れた場合には後悔が大きいだろうから、選んだドアは変えないでおこう。」
多くの人の直感的判断はこのようなものだったのです。しかし、正しい判断はこの直感に反するものなのです。 このことが広く知られてからは、ゲストは少しも迷わずにドアを変えるようになり、番組はつまらなくなってしまいました。ゲストは少しも悩まずにすぐドアを変えるからです。
モンティ・ホール問題は、時々確率の本に紹介されています。情報をすべて組み込まないと正しい確率でないことの説明に使われているのです。モンティ・ホールが一つのドアを開けてしまったので、確率は１／２になったと考えるのは、事前情報としてドアが３つあったことを忘れているというわけです。 ２．ゲストが二人なら さて、ここではモンティ・ホールの問題を少し変更します。有名な問題なので、変形もいくつか考えられています。これらを比較検討することによって本質が見えてくるでしょう。 モンティ・ホールはテレビの視聴者参加番組の司会者です。スタジオにはドアが３つあり、その二つのドアの後ろには山羊がいるだけですが、もう一つのドアにはキャデラックが置かれています。今度はゲストが二人いて、一人はドアAを、他の一人はドアBを選んだものとします。 モンティ・ホールは最後のドアCを開けて「あなた方は二人ともドアCを選ばなくて幸運でした。Cは山羊だったのですから。お二人は今ならもう一度ドアAとBを自由に取り替えても良いですよ。同じドアを選んでも良いですよ。」と言います。 二人とも同じドアを選んでキャデラックが当たった場合には二人ともその車を貰えることになっています。果たして、前のように取り替えた方が確率は高いのでしょうか、取り替えなければ確率は１／３のままなのでしょうか。最初に、Aを選んだ人も、Bを選んだ人も条件は同じであることが判ります。この問題を問題２とします。 今度の場合は、ドアを取り替えても、取り替えなくてもキャデラックが当たる確率は１／２に高まっています。ゲストが一人の問題１では取り替えた方が確率は２／３と高かったのです。この違いはどこから来るのでしょうか。 問題２はモンティ・ホールがドアCを開けることができたというところに問題１との情報の差があります。もし、ドアCがキャデラックだったら、モンティ・ホールはドアを開けたらその時点でゲームは終了になってしまいます。従って、ドアCがモンティによって開けられたというのを知った時点で、ドアＡとＢは確率１／２に高まったのです。 ３．１００のドアなら モンティ・ホール問題の現在の常識は、直感に反してドアを変えることによって確率が２／３に上がるというものでした。直感的には１／２だからドアを変えても変えなくても同じと思う人が多いことがこの問題の面白さでもあったのです。しかし、直感的にドアを変えた方が正しいと思うために、次の問題を考えてみることでしょう。ドアを３つでなく１００に増やしたもので問題３とします。
ドアが１００あって、キャデラックは１台だけどこかのドアの後ろにあります。残りの９９のドアの後ろにはどれも山羊がいます。ゲストは１００のドアから一つを選びます。そして、モンティはゲストが選ばなかった９９のドアから、山羊のいるドアを確かめながら次々に開けていって、一つだけ残します。そして、モンティは同じように言うのです。 この場合もあなたならドアを変えませんか。それとも当然変えた方が良いと思うでしょうか。 最初に１００あるドアから一つ選んだときはキャディラックがあたる確率は１／１００だと考えたでしょう。ここまでは誰も同じです。次に、モンティが９８のドアを開けてしまった後、あなたが選んだドアは確率が１／２高まったのでしょうか、それとも１／１００のままなのでしょうか。 正解は１／１００のままなのです。モンティが残したドアに変えることによって、キャディラックを手にいれる確率は９９／１００にまで高まるのです。やはり、直感的には１／２だと思うかも知れませんね。
どちらが正しいのか実際に確かめる方法はありません。このようなゲームを１回しか行えない場合は、ゲストがドアを変えずにキャディラックを手にすることもあるでしょう。ドアを変えたために山羊だったということもあるかも知れません。しかし、同じゲームを何回も行うことができる場合には、毎回、成否の記録を残して、統計を取るとドアを変えた方がキャデラックがあたる場合が多いということを知ることができるのです。
もう一度、モンティ・ホール問題のオリジナル版を繰り返します。 米国のテレビで視聴者参加番組があります。司会者はモンティ・ホールという人です。スタジオにはA、B、C、と三つ部屋のドアがあってその各々のドアの後ろには賞品が隠されています。ゲストに選ばれた一人の視聴者がやることはまず自分の好きなドアを選んでその前に立つことです。 どれか一つの部屋の後ろには高級乗用車のキャデラックが置かれていますが、他の二つの部屋には山羊が一匹づつ繋がれています。もちろん、ゲストはキャデラックを当てたいと思っています。モンティ・ホールはどの部屋にキャデラックがあるのか事前に知っています。 さて、ゲストは三つのドアの一つを選んで、例えば、Aのドアの前に立ったとします。すると、モンティ・ホールは残った二つのドアのうち少なくとも一つは山羊のドアですから、それをCだったとすると、Cのドアを開けてゲストに次のように言います。 「あなたはCを選ばなくて良かった。さて、あなたはAのドアを選んでいるが、今ならBに変えても良いですよ。」 さて、ゲストはAのドアを選んだままが良いか、それともBのドアに変えるべきであろうか。あなたがゲストならどうするか、というのがモンティホール問題です。
最初にドアの前に立ったとき、ゲストが選んだドアの後ろにキャデラックがある確率は１／３です。これには誰も異論がないでしょう。強いて、学問的に言うならば、ラプラスの確率定義により１／３であるといえます。
ここで、X、D、Hを命題とし次の内容であるとします。
そして、条件付確率を次のように定義します。縦棒の右が条件です。
つまり、Dを見た後の事後確率は１／２になっています。Cのドアについても１／２になっていることは同様に確かめられるので、ドアをCに変えてもAのままでも当たる確率は１／２で差はありません。だから、直感で良かったと言われそうです。
従って、もう一度正しく計算し直すと、
ゲストはドアを変えなければ、当たる確率は１／３のままです！ ５．問題３を解く 念のために、問題３もベイズの定理を用いて確かめてみましょう。
X：１００のドアがあって一つにはキャデラック、他の９９には山羊
P（H｜X)：Xが眞であるという条件の下にHが真である確率（＝１／１００）
この解も問題の早合点です。モンティはゲストの選ばなかったドア９９から山羊のドア９８を確実に選んで開けることが出来たので、P(D | X）＝１
としなければならないのです。 ドアを変えないと確率は１／１００のままですからまず当たりそうもありません。逆に、ドアを変えれば確率は０．９９です。
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