正多面体には正４面体、正６面体、正８面体、正１２面体、正２０面体の５つしかありません。その理由を求めて下さい。
この場合の正多面体とは、
（１）面が、１種類の合同な正多角形でできている凸多面体（へこんでいない）
（２）どの頂点にも同じ数の辺が集まっている。
これを満たす立体であるとします。
正多角形の1つの角で一番小さいのは、60°（正三角形）で、次が、９０°（正方形）、１０８°（正五角形）、120°（正六角形）、、、です。
さて、多面体の1つの頂点には、少なくとも3つの面が集まるはずです。
そうなると、１周３６０°ですから、正六角形が３つ集まると１２０°×３＝３６０°となり、平面になってしまうので、
正多面体の面は、正三角形、正方形、正五角形のいずれかであることになります。
（正七角形以上は、重なってしまうので考える必要はない）
では、１つの頂点に正三角形が集まるとすると、集まることができる数は、３，４，５個です。
（６個になると、６０°×６＝３６０°となる）
正三角形が３個集まって、正ａ面体ができたとすると、
頂点は３ａ／３＝ａ、面はａ、辺は３ａ／２。
オイラーの定理より、ａ＋ａ－３ａ／２＝２ ａ／２＝２ ａ＝４→正４面体
正三角形が４個集まって、正ｂ面体ができたとすると、
頂点は３ｂ／４、面はｂ、辺は３ｂ／２。
オイラーの定理より、３ｂ／４＋b-３ｂ／２＝２ ｂ／４＝２ ｂ＝８→正８面体
正三角形が５個集まって、正ｃ面体ができたとすると、
頂点は３ｃ／５、面はｃ、辺は３ｃ／２。
オイラーの定理より、３ｃ／５＋ｃ－３ｃ／２＝２ ｃ／１０＝２ ｃ＝２０→正２０面体
次に、１つの頂点に正方形が集まるとすると、集まることができる数は、３個です。
（４個になると、９０°×４＝３６０°となる）
正方形が３個集まって、正ｄ面体ができたとすると、
頂点は４ｄ／３、面はｄ、辺は４ｄ／２＝２ｄ。
オイラーの定理より、４ｄ／３＋ｄ－２ｄ＝２ ｄ／３＝２ ｄ＝６→正６面体
最後に、１つの頂点に正五角形が集まるとすると、集まることができる数は、３個です。
（４個になると、１０８°×４＝４３２°＞３６０°となる）
正五角形が３個集まって、正ｅ面体ができたとすると、
頂点は５ｅ／３、面はｅ、辺は５ｅ／２。
オイラーの定理より、５ｅ／３＋ｅ－５ｅ／２＝２ ｅ／６＝２ ｅ＝１２→正１２面体
もう他には正多面体はできないので、
正多面体には正４面体、正６面体、正８面体、正１２面体、正２０面体の５つしかありません。
