（１８）樹形図や表を書かずに場合の数を求める

（１）「Ａ」、「Ｂ」、「Ｃ」、「Ｄ」、「Ｅ」、「Ｆ」の６枚のカードを１列に並べるとき、その並べ方は何通りでしょうか。

1枚目に、6通り。
2枚目は、1枚減っているので、5通り。
3枚目は、2枚減っているので、4通り。
4枚目は、、、3通り。
3枚目は、、、2通り。
2枚目は、、、1通り。

よって、全部で、６×５×４×３×２×１＝７２０通り。

（２）６文字のアルファベットＡ，Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを使って、３文字の単語を作るとき、何通り作ることができるでしょうか。（同じ文字を何度使っても良い。）

1文字目に、6通り。
2文字目も、同じ文字を使っていよいので、6通り。
3文字目も、、、6通り。

よって、６×６×６＝２１６通り。

（３）６種類のお菓子から、気に入った３種類のお菓子を選ぶとき、選び方は全部で何通りでしょうか。

１種類目は、６通り。
2種類目は、1つ選んだので、5通り。
3種類目は、2つ選んでいるので、4通り。

よって、全部で、６×５×４＝１２０通り、、、あるように思いますが、
この中には、同じ3種類を選んでいるのに、順番だけ違うものも含まれてしまいます。
例えば、（チョコ、キャンディー、ガム）も（キャンディー、ガム、チョコ）も別のものとして、カウントされています。つまり、3種類のものを並べる組み合わせの数、３×２×１＝６通りだけ、数えすぎているので、
１２０÷６＝２０通り

が、正解となります。

いわゆる樹形図では、
お菓子をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆとすると

ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF
BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF
CDE,CDF,CEF
DEF
という、20通りです。

ちなみに、
６×６×６＝６^３
ですが、
６×５×４×３×２×１＝６！（６の階乗と読みます。）
と表します。
４！＝24
５！＝120
６！＝720
７！＝5040
８！＝40320、、、と、
あっという間にものすごく大きい数になっていくので、「！」（びっくりマーク）なのでしょう。