四角形の重心を作図するのに、2通りの三角形の分割をせず、1通りの分割した三角形の重心
と面積比から作図できることをベクトルを用いて証明し、実際に作図することで、ベクトルに
興味をもち、有用性を感じることが、この教材のねらいである。
数学Ａにある「埼玉県の重心」の続きで行うとよい。
なお、表記上、ベクトルは太字で表示する。
図１のような四角形OAPBに対して、基準とするベクトルを
OA＝a，OB＝b とすると、AP＝pa＋qb（p＞0,q＞0）とおけるので、
重心G，三角形OABの重心G1，三角形ABPの重心G2，
三角形OAPの重心G3，三角形OBPの重心G4に対して、
OG1＝(1/3)a＋(1/3)b，OG2＝(1/3)(2＋p)a＋(1/3)(1＋q)b
OG3＝(1/3)(2＋p)a＋(1/3)qb，OG4＝(1/3)(1＋p)a＋(1/3)(1＋q)b となる。
四角形の重心Gは、線分G1G2と線分G3G4の交点になるので、
GG1：GG2＝s：1－s , GG3：GG4＝t：1－t とおくと、
OG＝(1－s)OG1＋sOG2＝(1/3)(1＋s＋sp)a＋(1/3)(1＋sq)b
OG＝(1－t)OG3＋sOG4＝(1/3)(2－t＋p)a＋(1/3)(t＋q)b と表せる。
よって、1＋s＋sp＝2－t＋q
1＋sq＝t＋q から t を消去すると、
2＋s(p＋q＋1)＝2＋p＋qより、s＝(p＋q)/(p＋q＋1)
ゆえに、GG1：GG2＝s：1－s＝(p＋q)/(p＋q＋1)：(p＋q＋1)－(p＋q)/(p＋q＋1) ＝(p＋q)：1
となる。
一方、図２のように、三角形OABの面積をS1、三角形PABの面積をS2 とおいて、
面積比S1：S2を求める。∠AOB＝θ ,∠BAP＝φ とおくと、
S1＝(1/2)|a||b|sinθ，S2＝(1/2)|pa＋qb||－a＋b|sinφ
ここで、cosφ＝(pa＋qb)・(－a＋b)/|pa＋qb||－a＋b| より、
cosφ＝B/A とおくと、
A2＝{|pa＋qb||－a＋b|}2＝|pa＋qb|2|－a＋b|2
＝(p2|a|2＋2pqa・b＋q2|b|2)(|a|2－2a・b＋|b|2)
＝p2|a|4－4pq(a・b)2＋q2|b|4－2p(p－q)|a|2a・b＋2q(p－q)|b|2a・b＋(p2＋q2)|a|2|b|2
B2＝{(pa＋qb)(－a＋b)}2＝{(－p|a|2＋(p－q)a・b＋q|b|2)}2
＝p2|a|4＋(p－q)2(a・b)2＋q2|b|4－2p(p－q)|a|2a・b＋2q(p－q)|b|2a・b－2pq|a|2|b|2 から、
sin2φ＝1－cos2φ＝1－(B2/A2)＝(1/A2)(A2－B2)＝(1/A2){(p＋q)2|a|2|b|2－(p＋q)2(a・b)2}
＝{(p＋q)2/A2}{|a|2|b|2－|a|2|b|2cos2θ}＝{(p＋q)2|a|2|b|2/A2}sin2θ
よって、sinφ＝{(p＋q)|a||b|/A}sinθ より、S2＝(1/2)Asinφ＝(1/2)(p＋q)|a||b|sinθ＝(p＋q)S1
ゆえに、S1：S2＝1：(p＋q)となる。
これを利用して、GG1：GG2＝(p＋q)：1となる点Gを決めればよい。
よって、三角形の分割を2通りしなくても、三角形OABと三角形PABの重心の位置を求め、
三角形OABと三角形PABの面積比を求めれば、四角形の重心の位置を求めることができる。