物理的に考えられる３種類の重心を位置ベクトルで分析すると、比較が容易なことから、
ベクトルの有用性を感じることが、この教材のねらいである。
数学Ａにある「三角形の３種類の重心①」の続きで行うとよい。
三角形の３種類の重心の位置ベクトルを比較する。
なお、表記上、ベクトルは太字で表示する。
三角形ABCの幾何的重心Gの位置ベクトルはg＝(a＋b＋c)/3となる。
図１のような三角形ABCの物理的重心Pの位置ベクトルは、
p＝(2OM＋OC)/(1＋2)＝[2×{(a＋b)/2}＋c]/3＝(a＋b＋c)/3となる。
よって、物理的重心と幾何的重心は一致する。
図２のような三角形ABCのフレーム重心Fの位置ベクトルは、
OQ＝(aOL＋bOM)/(a＋b)＝[a×{(b＋c)/2}＋[b×{(a＋c)/2}]/(a＋b)より、
f＝{cON＋(a+b)OQ}/(a＋b＋c)＝[c×{(a＋b)/2}＋a×{(b＋c)/2}＋[b×{(a＋c)/2}]/(a＋b＋c)
＝{(b＋c)a＋(a＋c)b＋(a＋b)c}/2(a＋b＋c)となる。
これは、三角形ABCが正三角形のときは、a＝b＝cなので、f＝(a＋b＋c)/3となり、
幾何的重心、物理的重心とは一致するが、
それ以外のときは、幾何的重心、物理的重心とは一致しないことがわかる。