玉を箱に入れる入れ方のうち、玉と箱をそれぞれ区別するかどうかで場合分けをして
考えることで、場合の数について深く理解することが、この教材のねらいである。
玉６個を箱３個に分けるとき、次の場合はそれぞれ何通りだろうか。
ただし、１個も入れない箱があってもよいこととする。
このときは、数えあげるのが速い。６個の玉の分け方の組合せを考えればよいので、
(6,0,0)、(5,1,0)、(4,2,0)、(4,1,1)、(3,3,0)、(3,2,1)、(2,2,2)の７通りとなる。
箱にＡ，Ｂ，Ｃと名前がついていると考え、６個の玉の分け方の順列を考えればよい。
①のときの(6,0,0)は、(6,0,0)と(0,6,0)と(0,0,6)の３通りに分かれると考えることができる。
(5,1,0)は、３つの数がすべて違うので、(5,1,0)と(5,0,1)と(1,5,0)と(1,0,5)と(0,5,1)と(0,1,5)の
６通りである。
同様に、(4,2,0)は６通り、(4,1,1)は３通り、(3,3,0)は３通り、
(3,2,1)は６通り、(2,2,2)は１通りなので、
３＋６＋６＋３＋３＋６＋１＝28通りとなる。
これは、重複組合せで考えると、すぐに計算することができる。
６個の玉を３つに分けるので、下図のように、「６つの玉の列に２つの仕切りを入れる」こと
を考えると、
3Ｈ6＝8Ｃ2＝(8×7)/(2×1)＝28通りとなる。
玉に①～⑥と名前がついていると考え、６個の玉の組分けと考えればよい。
①のときの(6,0,0)は、①～⑥がひとつの箱に入っている状態で１通り。
(5,1,0)は、５個入りの箱に入る玉を、①～⑥の６個から５個選ぶので、6Ｃ5＝6Ｃ1＝６通り。
同様に、(4,2,0)は、6Ｃ4＝6Ｃ2＝(6×5)/(2×1)＝15通り。
(4,1,1)は、６個から４個選び、次に残りの２個から１個選ぶのであるが、
２つの１個入りの箱に入る玉は入れ替えても同じなので、
つまり、(①②③④，⑤，⑥）と(①②③④，⑥，⑤)の２つは同じなので、２！で割る必要がある。
よって、6Ｃ4×2Ｃ1÷２！＝15通り。
同様にしていくと、(3,3,0)は6Ｃ3÷２！＝10通り。
(3,2,1)は6Ｃ3×3Ｃ2＝60通り。(2,2,2)は6Ｃ2×4Ｃ2÷３！＝15通り。
ゆえに、１＋６＋15＋15＋10＋60＋15＝122通りとなる。
玉に①～⑥、箱にＡ，Ｂ，Ｃと名前がついていると考え、６個の玉の組分けと考えればよい。
③のときの122通りのうち、(6,0,0)を除いた121通りに対して、Ａ，Ｂ，Ｃの名前をつけるつけ方が
それぞれ３！＝６通りあるので、121×6＝726通り。
(6,0,0)のときは、玉が６個入っている箱がＡのときとＢのときとＣのときの３通りしかないので、
(０個の箱は入れ替えても同じなので)121×6＋3＝729通りとなる。
これは、重複順列で考えると、すぐに計算することができる。
さきほどまでの考え方は、「Ａの箱に何番の玉が入るか・・・」という考え方であったが、
考え方を逆転させて、
「①番の玉がどの箱に入るか・・・」と考えていくと、重複順列となり、３6＝729通りとなる。
※③の答えは、④を先に３6＝729通りと求めてから、(729－3)/6＋1＝122通りと計算すること
もできる。