玉を箱に入れる入れ方

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順列組合せ

玉を箱に入れる入れ方のうち、玉と箱をそれぞれ区別するかどうかで場合分けをして

考えることで、場合の数について深く理解することが、この教材のねらいである。

玉6個を箱3個に分けるとき、次の場合はそれぞれ何通りだろうか。

ただし、1個も入れない箱があってもよいこととする。

①玉区別なし、箱区別なしのとき

○ ○ ○ ○ ○ ○

|__| |__| |__|

このときは、数えあげるのが速い。6個の玉の分け方の組合せを考えればよいので、

(6,0,0)、(5,1,0)、(4,2,0)、(4,1,1)、(3,3,0)、(3,2,1)、(2,2,2)7通りとなる。

②玉区別なし、箱区別ありのとき

○ ○ ○ ○ ○ ○

A|__| B|__| C|__|

箱にA,B,Cと名前がついていると考え、6個の玉の分け方の順列を考えればよい。

①のときの(6,0,0)は、(6,0,0)と(0,6,0)と(0,0,6)の通りに分かれると考えることができる。

(5,1,0)は、3つの数がすべて違うので、(5,1,0)と(5,0,1)と(1,5,0)と(1,0,5)と(0,5,1)と(0,1,5)の

通りである。

同様に、(4,2,0)通り、(4,1,1)通り、(3,3,0)通り、

(3,2,1)通り、(2,2,2)通りなので、

3+6+6+3+3+6+1=28通りとなる。

これは、重複組合せで考えると、すぐに計算することができる。

6個の玉を3つに分けるので、下図のように、「6つの玉の列に2つの仕切りを入れる」こと

を考えると、

○ ○ ○ | ○ | ○ ○ ・・・(3,1,2)の場合

3682=(8×7)/(2×1)=28通りとなる。

③玉区別あり、箱区別なしのとき

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

|__| |__| |__|

玉に①~⑥と名前がついていると考え、6個の玉の組分けと考えればよい。

①のときの(6,0,0)は、①~⑥がひとつの箱に入っている状態で通り。

(5,1,0)は、5個入りの箱に入る玉を、①~⑥の6個から5個選ぶので、6561通り。

同様に、(4,2,0)は、6462=(6×5)/(2×1)=15通り。

(4,1,1)は、6個から4個選び、次に残りの2個から1個選ぶのであるが、

2つの1個入りの箱に入る玉は入れ替えても同じなので、

つまり、(①②③④,⑤,⑥)と(①②③④,⑥,⑤)の2つは同じなので、2!で割る必要がある。

よって、64×21÷2!15通り。

同様にしていくと、(3,3,0)63÷2!10通り。

(3,2,1)63×3260通り。(2,2,2)62×42÷3!15通り。

ゆえに、1+6+15+15+10+60+15=122通りとなる。

④玉区別あり、箱区別ありのとき

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

A|__| B|__| C|__|

玉に①~⑥、箱にA,B,Cと名前がついていると考え、6個の玉の組分けと考えればよい。

③のときの122通りのうち、(6,0,0)を除いた121通りに対して、A,B,Cの名前をつけるつけ方が

それぞれ3!=6通りあるので、121×6=726通り。

(6,0,0)のときは、玉が6個入っている箱がAのときとBのときとCのときの3通りしかないので、

(0個の箱は入れ替えても同じなので)121×6+3=729通りとなる。

これは、重複順列で考えると、すぐに計算することができる。

さきほどまでの考え方は、「Aの箱に何番の玉が入るか・・・」という考え方であったが、

考え方を逆転させて、

「①番の玉がどの箱に入るか・・・」と考えていくと、重複順列となり、6=729通りとなる。

※③の答えは、④を先に36=729通りと求めてから、(729-3)/6+1=122通りと計算すること

もできる。