円に内接する四角形の性質から、円に外接する四角形の性質、円に内接・外接する多角形の
性質と構成要素を発展させて考えることで、平面図形のおもしろさを感じることが、この教材の
ねらいである。
どんな三角形にも外接円と内接円は存在するが、四角形には必ずしも存在するとは限らない。
まず円に内接する四角形の性質を考える。円に内接する好きな四角形をいくつか書いて、
それぞれの四角形の４辺の長さと４つの角度を測ると、「円に内接する四角形の対角の和
が180°」という性質を自ら発見することができる。その後、その証明をする。
その後、逆である「対角の和が180°ならば四角形に外接円が存在する」ということを
証明する。
次に発展として、円に外接する四角形の性質を考える。同様に、円に外接する好きな四角形
をいくつか書いて、それぞれの四角形の４辺の長さと４つの角度を測ると、今度は、
「２組の対辺の長さの和が等しい」という性質を見つけることができる。
図１において、円の外部の１点から引いた２本の接線の長さが
等しいことから、２組の対辺の長さは
(ａ＋ｂ)＋(ｃ＋ｄ) と (ｂ＋ｃ)＋(ａ＋ｄ)
になるので、２組の対辺の長さの和は等しいことがわかる。
次に逆である「２組の対辺の長さの和が等しいならば
四角形に外接円が存在する」ことを証明する。
図２のように、３辺、BC＝ｂ＋ｃ,CD＝ｃ＋ｄ,DA＝ｄ＋ａ に
接する円を考える。円の半径 ｒ とし、ABにOから下ろした垂線の
足をLとすると、AB＝ａ＋ｂ ならば、ABは円に接するすなわち
OL＝ｒ であることを証明すればよい。
AL＝ｔ とおくと、OA2＝ON2＋AN2＝ｒ2＋ａ2より、
OL2＝OA2－AL2＝ｒ2＋ａ2－t2
同様に、OB2＝OM2＋MB2＝ｒ2＋ｂ2より、
OL2＝OB2－BL2＝ｒ2＋ｂ2－(ａ＋ｂ－ｔ)2よって、ａ2－t2＝ｂ2－(ａ＋ｂ－ｔ)2
２ａ2＋２ａｂ－２ａｔ－２ｂｔより、２(ａ＋ｂ)(ａ－ｔ)＝０ ゆえに、ａ＞０，ｂ＞０より ａ＝ｔ なので、
OL2＝ｒ2＋ａ2－t2＝ｒ2より、OL＝ｒ となる。
円に内接する四角形の性質から発展させて、円に内接する多角形の性質を考察する。
まず円に内接する六角形の性質を考えると、
「円に内接する六角形の隣り合わない内角の和は360°」
という性質があることがわかる。これは図３において、
２α＋２β＋２γ＝720°（円周２周分）であり、
中心角と円周角の関係から、
α＋β＋γ＝360°が成り立つことがわかる。さらに、
八角形、十角形と拡張していくと、円に内接する偶数角形
の隣り合わない内角の和は一定になり、
２ｎ角形のとき、その和が180°×(ｎ－1）となることがわかる。
ただし、この性質は逆は成り立たない。
円に外接する四角形の性質から発展させて、円に内接する多角形の性質を考察する。
まず円に外接する六角形の性質を考えると、
「円に外接する六角形の隣り合わない辺の長さの和どうしは等しい」
という性質があることがわかる。これは図４において、
隣り合わない辺の長さの和は、
(ａ＋ｂ)＋(ｃ＋ｄ)＋(ｅ＋ｆ) と (ｂ＋ｃ)＋(ｄ＋ｅ)＋(ｆ＋ａ)
になるので、等しいことがわかる。さらにこれも、八角形、十角形と
拡張しても同様で、偶数角形の隣り合わない辺の長さの和どうしは
等しくなる。ただし、この性質も逆は成り立たない。