すごろくの確率を分析することで、反復試行について理解し、単元の有用性を感じることが、
この教材のねらいである。
すごろくで、止まりたいマスがあるとき、そのマスから何マス離れている所にいるときが
一番止まる確率が高いだろうか？
止まれるのは１が出たときだけなので、確率は1/6（≒16.7％)である。
止まれるのは、２が出たときと、２回振って（1,1）と出たときなので、
確率は、1/6＋(1/6)2＝7/62＝7/36（≒19.4％)である。
止まれるのは、３が出たときと、２回振って(1,2)か(2,1)、３回振って（1,1,1）と出たときなので、
確率は、1/6＋2Ｃ1(1/6)2＋(1/6)3＝(1/6)｛1+(1/6)｝2＝72/63＝49/216（≒22.7％)である。
同様に考えると、確率は、1/6＋3Ｃ1(1/6)2＋3Ｃ2(1/6)3＋(1/6)4＝(1/6)｛1+(1/6)｝3
＝73/64＝343/1296（≒26.5％)である。
同様に考えると、確率は、74/65＝2401/7776（≒30.9％)である。
同様に考えると、確率は、75/66＝16807/46656（≒36.0％)である。
これは、「さいころを６回振ったとき、何回目かにそれまで出た数の総和が６になる確率を
求めよ。」という問題で、この問題は数学オリンピックの過去問で、2009年の高校生クイズ
（日本テレビ）の番組でも出題されている。
①～⑥の確率を見てわかるように、二項定理から、ｎ回振ったときに総和がｎになる確率は、
１≦ｎ≦６のとき、(1/6)｛1+(1/6)｝n-1＝7n-1/6nになることがわかる。
７の目は出ないので、76/67－(1/6)＝（76－66）/67＝70993/279936（≒25.4％)となり、
７マス離れると、６マス離れているときよりも確率は下がることがわかる。
なお、「１の目かつ⑥が起こる」または「２の目かつ⑤が起こる」または・・・と考えて、
(1/6)×(65＋7×64＋72×63＋73×62＋74×6＋75)/66でも同じ答えが出る。
これは、①～⑥の平均（期待値）といえる。
同様に、「１の目かつ⑦が起こる」または「２の目かつ⑥が起こる」または・・・といえるので、
②～⑦の平均をとればよく、計算すると、450295/1679616（≒26.8％）となる。
②～⑦のうち、⑥（６マス離れているとき）が最大なので、８マス離れているときの確率も、
６マス離れているときを超えることはないことがわかる。同様に考えていくと、
６マス離れているところにいるときが一番止まる確率が高いことがわかる。
これを表計算ソフトを用いて、繰り返して計算していくと、ｎマス離れているときの確率はｎ→∞で
28.57％に収束していき、ｎが100マスを超えたくらいで、2/7の値に小数第10位まで近似する。
| ｎマス | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 止まる確率 | 0.167 | 0.194 | 0.227 | 0.265 | 0.309 | 0.360 | 0.254 | 0.268 | 0.280 | 0.289 | 0.293 | 0.290 |
以上が、それを表とグラフで表したものである。
まとめると、ｎマス離れているときの確率は、以下のような関係式になる。
ａn＝7n-1/6n （1≦ｎ≦6）
ａn＝(ａn-6＋ａn-5＋ａn-4＋ａn-3＋ａn-2＋ａn-1)/6 （7≦ｎ）
この漸化式を解いてｎ→∞の極限を取ると、2/7に収束することが予想できるが、
正しいかは不明である。