平面図形の性質を利用して√ａｂの長さを作図することで、平面図形や作図に興味をもち、
単元の有用性を感じることが、この教材のねらいである。
横の長さがａ、縦の長さがｂの長方形がある。この長方形と同じ面積の正方形を、
定規とコンパスだけで作図せよ。
(ａ＋ｂ)2－(ａ－ｂ)2＝４ａｂより、
(ａ＋ｂ)2－(ａ－ｂ)2＝(２√ａｂ) 2と考え、この式を利用する。
まず、縦ａ－ｂ、斜辺ａ＋ｂの直角三角形を次の手順で作図する。
①図１のような横の長さがａ 、縦の長さがｂの長方形ＡＢＣＤにおいて、
コンパスを利用して点Ｂを中心とする半径ｂの円弧を作図し、
円弧と線分ＡＢをＢ側に延長した直線ＡＢとの交点をＥとする
と、ＡＥ＝ａ＋ｂとなる。
②円弧と線分ＡＢとの交点をＦとすると、ＡＦ＝ａ－ｂとなるので、
コンパスを利用して点Ａを中心とする半径ａ－ｂの円弧
を作図する。
③ＡＢの中点をとってＡＥを直径とする円弧を作図し、②で描いた円弧との
交点をＧとすると、直径に対する円周角の性質から、
ＡＧ＝ａ－ｂ、∠ＡＧＥ＝90°となる。
よって、縦ａ－ｂ、斜辺ａ＋ｂの直角三角形が作図できる。
(ａ＋ｂ)2－(ａ－ｂ)2＝(２√ａｂ) 2より、
三平方の定理から、ＥＧ＝２√ａｂとなる。
よって図２のように、ＥＧの中点Ｍを作図して、
点Ｍを中心とする半径√ａｂの円弧を描くと、一辺が√ａｂの正方形を作図することができる。