ナンバーズに関連する順列・組合せを計算し、当りやすさについて考察することで、
単元の有用性を感じるのが、この教材のねらいである。
普通の宝くじよりも手軽に買える、ナンバーズという宝くじがある。
これは、４ケタ（３ケタ版もある）の好きな数字を書いて投票し、当たったら配当総額を
当たった票数で割ったものが配当金になるというしくみのくじである。
買い方には大きくわけて、数字の順番も当てなくてはならないストレートと、
４つの数字の組合せだけを当てるボックスがある。
当選番号は４つとも違う数字の番号になることもあれば、同じ数が２つある４ケタの番号に、
なることや、場合によっては４つ全部同じ数字の番号になることもある。
ストレートで買うときはその番号をちょうど当てるのだから変わらないが、
ボックスで買うと書く番号の種類によって当たる確率が違ってくる。
図１は、ある日の当選番号と配当金額である。
ストレートの金額は偶然にも同じ（当たった人数
によって変動する。）であるが、ボックスの金額は
(B)の方が高い。どうしてだろうか？
ストレートで当たる確率
４ケタの数は0000～9999まで10000通りあるから、
当たる確率は1/10000である。
ボックスで当たる確率
ボックスで当たる確率は４ケタの数の種類で違ってくる。その種類は以下の５つが考えられる。
例えば1234を買うと、当選番号が1234，1243…4321の４！＝24通りのどの数であっても
当たりになるので、当たる確率は24/10000
よって、当たる確率がストレートの24倍になるので、配当はストレートの1/24になる。
例えば1233を買うと、当選番号が1233，1323，1332…3321の4Ｃ1×3Ｃ1＝12通りの
どの数であっても当たりになるので、当たる確率は12/10000
よって、当たる確率がストレートの12倍になるので、配当はストレートの1/12になる。
例えば1122を買うと、当選番号が1122，1212，1221…2211の4Ｃ2＝６通りの
どの数であっても当たりになるので、当たる確率は6/10000
よって、当たる確率がストレートの6倍になるので、配当はストレートの1/6になる。
例えば1222を買うと、当選番号が1222，2122，2212，2221の4Ｃ1＝４通りの
どの数であっても当たりになるので、当たる確率は4/10000
よって、当たる確率がストレートの4倍になるので、配当はストレートの1/4になる。
例えば1111を買うと、当選番号が1111の１通りしかないので、当たる確率は1/10000
よって、配当はストレートと同じである。
(a)のような種類の数を、ストレートで買うと当たる確率が1/10000なのに対して、
ボックスで買うと、当たる確率が24/10000とストレートの24倍になるのであるが、
そのかわりに配当金は図1の(A)のように1/24になる。それに対して、
(b)のような種類の数であれば、ストレートで買うと当たる確率が1/10000なのに対して、
ボックスで買うと、当たる確率が12/10000とストレートの12倍にしかならないが、
配当金は図1の(B)のように1/12ですむ。
このことからボックスで買う時、当たる確率は低くても高い配当を狙いたければ、
(b)～(e)のように同じ数字を含めて買えばよく、
逆に配当は低くても当たる確率をあげたければ、
(a)のように同じ数字を含めずに買えばよいことがわかる。
次に、当選番号が(a)～(e)のどのパターンになるかという確率を考える。
４つとも数字が違う数の組合せは全部で、10Ｃ4＝210通りある。
よって４つとも数字が違う数は全部で210×24＝5040通りあり、
それが当選番号になる確率は5040/10000（≒1/2）
４つのうち２つの数字が同じ数になる組合せは全部で、10Ｃ3×3＝360通りある。
よって４つのうち２つ数字が同じ数は全部で360×12＝4320通りあり、
それが当選番号になる確率は4320/10000
同じ数字が２つずつの数になる組合せは全部で、10Ｃ2＝45通りある。
よって同じ数字が２つずつの数は全部で45×6＝270通りあり、
それが当選番号になる確率は270/10000
４つのうち３つの数字が同じ数になる組合せは全部で、10Ｃ2×2＝90通りある。
よって４つのうち３つの数字が同じ数は全部で90×4＝360通りあり、
それが当選番号になる確率は360/10000
４つ同じ数字が0000～9999の10通りあるので、
それが当選番号になる確率は、10/10000
以上のことから当選番号の出方を考察してみると、
(a)の場合つまり同じ数字を含まない数が当選番号になる確率が約半分なので、
(b)～(e)の場合つまり同じ数字を含む数が当選番号になる確率が残り約半分である。
しかしなんとなく一般には、同じ数字を含まない番号を買いたがる傾向があるように思われる。
でも実際は確率が約1/2ということから、買う人が少なそうな分同じ数字を含めた方が
配当がよくなることも考えられ、ボックスで買う時、買う４ケタの数に同じ数字を含めるか
含めないかの選択を考えるようにするとさらにおもしろい。
また当選番号に同じ数字があるかないかで注目してみるのもおもしろい。
ナンバーズをボックスで買うゲームをする。好きな４ケタの数字の組み合わせを10個書く。
４ケタの数字の組合せは10つの中から４つ選ぶ重複組合せなので、10Ｈ4＝13Ｃ4＝715通り
ある。よって、40人が一人10個書けば、２回に１回位は当選者が出るような確率となる。
40人でゲームをする場合には、当選総額を、40人×10個×100円＝40000円として、
当選者の人数で割ったものが１回の配当金とする。
１回の当選総額を同じにするために、当選総額は次回に繰り越さないものとする。
抽選を10回ほど行うとしくみが見えてくるだろう。