沼の深さを測る

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方べきの定理

沼に野生しているハスから沼の深さを求める問題から、方べきの定理の理解を深め、

その有用性を感じることが、この教材のねらいである。


 沼に野生しているハスの花が水面から18cmつきでている。

 このハスの花が風にゆれると30cmはなれた水面にふれる。

 このとき、この湖の深さはどれくらいでしょう?

 

図1のようなモデルとなるので、三平方の定理で

以下のように解く場合が多い。求める沼の深さをdとすると、

(d+18)2=d2+30 2

36d+324=900より、d=16cm

この解法は2次式の展開があるうえに182の計算も大変である。

よって、この問題を図2のようなモデルにして、

方べきの定理を利用して解く。

PA・PB=PC・PDより、18x=30×30から、

x=50なので、円の半径は(50+8)÷2=34より、

d=34-18=16cmとなる。

この解法だと、簡単な計算だけで解くことができる。

<参考文献>
[1]小島淳子(2000),「ハスの問題」,「Weekend Mathematics」,
  http://www.junko-k.com/mondai/mondai44.htm