現実の問題を解決する場面で三角形の外心を用いることで、外心の理解を深め、
外心に興味をもち、単元の有用性を感じることが、この教材のねらいである。
３つの点から等距離にある点は、その３つの頂点からなる三角形の３辺の垂直二等分線
の交点であり、その点を外心という。これを利用した現実問題の解決を考える。
また問題解決を通して、鋭角三角形の外心は三角形の内部にあり、鈍角三角形の外心は
三角形の外部にあることを実感したり、最短シュタイナー問題にまで発展したりする。
Ａさんは仕事の関係で利用する駅が日によって違うため、その３つの駅の
のどの駅からも便利な場所に住もうと考えました。どこに住めばよいでしょうか？
＜３つの駅を結んでできる三角形が鋭角三角形のとき＞
「どの駅からも便利な場所」というあいまいな問いに対して、
３つの駅を結ぶ三角形が鋭角三角形ならば、
「３地点から等距離な場所に住む」という考えが出ることが
予想される。それは直感的に、３地点から等距離な点が
三角形の内部にくるからである。
そこで２地点から等距離な点が垂直二等分線上にある
ことを利用して、図１のような外心を作図する。
実際の作業は図２のように適当な地図を与えて行う
とよい。
垂直二等分線はコンパスを利用して作図できるとよい。
＜３つの駅を結んでできる三角形が鈍角三角形のとき＞
３つの駅を結ぶ三角形が鈍角三角形のときは、
３地点から等距離な点は図３のように三角形の外部にくる。
このとき、「どの駅からも便利な場所」が果たして
「３地点から距離な場所」だろうか？という疑問が出る。
そこで、「どのような場所が、どの駅からも便利な場所
だろうか？」を考えてみることにする。
三角形の３地点からの距離の和が最小になるような点を求めるような問題は
「最短シュタイナー問題」といわれている。３地点をネットワークで結ぶときに、
どのように結べばよいかを考える問題である。
「どの駅からも便利な場所」に、「どの駅にも同じ頻度で行くならば、３つの駅までの
距離の和が最小である場所が便利な場所である」という考えが出るだろう。
＜ヴィヴィアーニの定理＞
「正三角形の内部の点から３辺までの距離の和が一定である。」
という定理をヴィヴィアーニの定理という。まず、この定理を証明する。
図４において、正三角形の一辺の長さをa、正三角形の
BCを底辺としたときの高さをhとする。三角形の内部の
任意の点Pについて、三角形の面積に着目すると、
⊿PBC＋⊿PCA＋⊿PAB＝⊿ABCより
(1/2)ax＋(1/2)ay＋(1/2)az＝(1/2)ah
よって、x＋y＋z＝h(一定)
ゆえに、点Pが三角形の内部のどこにあっても、
正三角形の内部の点Pから３辺までの距離の和は一定である。
＜最大角が120°未満の三角形の最短シュタイナー問題＞
最大角が120°未満の三角形ABCにおいて、図５の∠AQB＝∠BQC＝∠CQA＝120°
となる点Qは、３頂点からの距離の
和AQ+BQ+CQが最小になるような点
である。このことを証明する。
⊿ABCにおいて、AQ⊥DE，BQ⊥EF，
CQ⊥DFになるように三角形DEFを書くと、
∠AQB＝∠BQC＝∠CQA＝120°から
∠AEB＝∠BFC＝∠CDA＝60°となり
⊿DEFは正三角形となる。
ここで、⊿ABCの内部の任意の点Pから
DE，EF，DFに下ろした垂線をそれぞれ
PL，PM，PNとすると、⊿DEFは正三角形なので、ヴィヴィアーニの定理から、
AQ+BQ+CQ＝PL＋PM＋PN・・①
ここで、AP≧PL，BP≧PM，CP≧PNなので、AP＋BP＋CP≧PL＋PM＋PN・・②
①，②から，どんな点PにおいてもAP＋BP＋CP≧AQ+BQ+CQ がいえるので、
点Qは３頂点からの距離の和が最小になる点である。
点Qの作図については、図６のようにできる。三角形ABCの
外側に正三角形を作って、その正三角形の外接円の交点
をQとすると、∠ARB＝∠CSA＝60°であることから、円の
内接四角形の性質より∠AQB＝∠BQC＝∠CQA＝120°
となることがわかる。
円の内接四角形の性質はこの後の学習内容であるので、
それを使わない場合には円周角と中心角の関係より、∠AO1B＝∠CO2A＝120°から、
弧ARBに対する中心角∠AO1B＝240°、弧CSAに対する中心角∠CO2A＝240°より、
∠AQB＝∠BQC＝∠CQA＝120°とすればよい。
＜最大角が120°以上の三角形の最短シュタイナー問題＞
に、∠BQC＝120°の点は三角形の外部に出てしまうため、
∠AQB＝∠BQC＝∠CQA＝120°となる点は存在しない。
この場合、３頂点からの距離の和が最小になる点は頂点Aになる。このことを証明する。
図８のように、任意の点Pにおいて、BAの延長線上に
AC＝AC’になるように点C’をとり、
⊿APC＝⊿AP’C’になるように点P’をとると、
∠BAC≧120°から、∠PAP’＝∠CAC’≦60°より、
PP’≦PA，PC＝P’C’より、BP＋AP＋CP≧BP＋PP’＋P’C’
図８より、BP＋PP’＋P’C’≧BC’＝BA＋AC’＝BA＋AC
ゆえに、BP＋AP＋CP≧BA＋ACとなり、BA＋ACが最小となる。
「どの駅からも便利な場所」について考えられるもう一つの考え方に、「３つのすべての駅に行く
ことを考えて、どの駅にいく場合でもある一定の距離以内である。」という考えもある。
例えば、不動産のちらしに以下のような物件が３つあったとき、どの駅も同じ頻度で使わなくては
ならない人は地理的にどれを選ぶだろうか。
| 物件A | 物件B | 物件C | |
|---|---|---|---|
| 蕨駅まで | 1.72km | 0.27km | 1.47km |
| 戸田公園駅まで | 1.72km | 1.43km | 1.68km |
| 南鳩ヶ谷駅まで | 1.72km | 2.58km | 1.68km |
図９において、点A（物件A）は「3つの駅から等距離にある点」、
点B（物件B）は「3つの駅からの距離の和が最小な点」、
点C（物件C）は「3つの頂点までの距離の中で最長な距離が最小になる点」である。
物件Aは物件Cに比べて明らかに不便である。つまり「どの駅からも便利な場所」が、
３つの駅から等距離にある点とは一概にはいえないことがわかる。
次に物件Bと物件Cを比較してみると、最短シュタイナー問題の考え方では、距離の和が
最小だから、物件Bの場合は4.28km、物件Cの場合は、4.83kmにあり、物件Bの方がよいと
考えられるが、物件Bの場合、南鳩ヶ谷駅に行かなくてはならないときには、2.58kmも
歩かなければならないことになる。
その点物件Cは最大でも1.68km歩くだけですむのでよい、という考え方もあるのである。
つまり、「３つの頂点までの距離の中で最長な距離が最小になる点」を
考える場合もあるのである。
この点は鋭角三角形の場合は外心になるので、鈍角三角形の場合を考えてみる。
図10のように、∠BACが鈍角である鈍角三角形ABCにおい
て、BCを直径とする円を書き、その半径を ｒ とする。円の中
心を点Pとすると、BP＝CP＝r となる。ここで、点P以外の点Q
では、BQかCQのどちらかが ｒ よりも大きくなってしまう。
また、∠BACは鈍角であるから、PA≦ｒ である。
よって、点Pは３つの頂点までの距離の中で最長な距離が ｒ で最小になる点
であり、点P以外の点Qでは、AQ，BQ，CQのうち、どれかは必ず ｒ より大きくなってしまうことがわかる。