二項定理の漸化式的考察

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二項定理

二項定理を違う角度から考察し発展的に考えることで、漸化式的な見方考え方を感得し、

単元に興味をもつことが、この教材のねらいである。

(a+b)8 の係数を二項定理で順に求めていく場合を考える。

例えば、83=(8×7×6)/(3×2×1) で、84=(8×7×6×5)/(4×3×2×1)=(5/4)83

なので、同様に考えると、8r= {(9-r)/r}8r-1 がいえる。

これにより、80=1から, 81=(8/1)80=8×1=8,

82=(7/2)81=(7/2)×8=28, 83=(6/3)82=(6/3)×28=56 ,

84=(5/4)83=(5/4)×56=70, 85=(4/5)84=(4/5)×70=56 ,

86=(3/6)85=(3/6)×56=28, 87=(2/7)86=(2/7)×28=8 ,

88=(1/8)87=(1/8)×8=1と、ひとつひとつ計算しなくても、漸化式的に次々と

求めていくことができる。漸化式は数学Bで扱うが、それにつながる発展教材となる。

一般的には、 nr={(n-r+1)/r}nr-1 がいえる。