観覧車の高さ

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三角関数のグラフ

観覧車の動きを分析して、三角関数のグラフにしたり、三角関数の式にしたりすることで、

単元の理解を深め、単元の有用性を感じるのが、この教材のねらいである。


 高さ R(m) ,1週 T(分) の観覧車がある。

 この観覧車が地上を出発してから t (分)後の高さ y を求めよ。ただし乗り場までの高さは

 0(m)とする。

 

答えの式は、とりあえず次の4通りが考えられる。





実際の演習でもよく見られた、求める方法は、以下の2パターンである。

①グラフからの読み取り、位相のずれから考える方法

いくつかの時間における高さを求めてグラフを書き、そのグラフから式を読みとる方法である。

書かれたグラフからサインカーブ(y=sinθ)と考え、振幅が (R/2) ,角速度が (360°/T) である

ことから、θ=(360°/T)t、乗り場が-90°の位置であるため、位相のずれが 90° なので、

これらを考えると、の式を導き出すことができる。

また、y=cosθ から考えると、位相のずれが180°となり、の式を導き出すことができる。

②円から幾何学的に考える方法

図1から、0°≦θ≦90°のとき、y=(R/2)-(R/2)cosθ=(R/2)(1-cosθ)のように、

場合分けして幾何学的に求めていく方法である。

θ=(360°/T)t よりの式を導き出すことができる。

これを半角の公式に適用すると、比較的綺麗なの式に

変形することができる。

文字で考えていくのは難しいので、具体的な数字を使って

考えていくのもよい。


 横浜みなとみらいにある観覧車コスモクロック21は、直径100(m)で、16(分)で1周する。

 この観覧車が地上を出発してからt (分)後の高さをy (m)とするとき、y をt の関数で表せ。

 ただし、乗り場の位置は一番低い位置で、高さは0(m)とする。

 

<解答例>

円運動の高さなので、y=rsink(t-α)+q の形で表すことができる。直径が100(m)なので、

振幅 r は50(m)より、r=50となる。1分間の振動数(周波数)kは、16(分)で2π回転するので、

k=(2π/16)=(π/8) となる。ただ、観覧車の乗り場は(-π/2) の位置なので、角度0の位置より

4(分)前がスタートとなるため、tを4(分)前にずらしα=4、また観覧車の中心が50(m)の高さ

のため、y軸方向に50(m)平行移動させるのでq=50。よって式は、y=50sin(π/8)(t-4)+50

となる。また、余弦(コサイン)を利用して、y=50cos(π/8)(t-8)+50 とも表せる。

さらに、y=-50cos(π/8)t+50 の形に変形したり、幾何的に考えると、y=50(1-cos(π/8)t)

と表したりすることもできる。この式の形はきれいである。さらに半角の公式で、この式を

y=100sin2(π/16)t に直すと、さらにきれいな形となる。ちなみにグラフは以下のとおりである。