デロスの倍積問題

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累乗根

数学史の話題を通して、累乗根を量(長さ)としてとらえることを実感することで、

累乗根のイメージを深め、単元の有用性を感じるのが、この教材のねらいである。

一説であるが、BC400年頃、定規とコンパスのみの作図による三大難問のひとつに、

「デロスの倍積問題」があった。これは「デロスの悪疫を抑えるために祭壇の体積を2倍

にしたい。」という問題から、立方体の体積を2倍にしたときの立方体の1辺の長さを

求める問題である。この問題を、正方形から導入して、立方体に発展させて考え、

作図の話まで紹介する。


 1辺が1mの正方形がある。この正方形の面積を2倍にするには、

 正方形の1辺の長さは何mにすればよいだろうか?


平方根の単元では、図1から 2=2 より、

2乗して2になる数を考え、√2 と表した。

よって、x=√2(m)にすればよいことがわかる。

ちなみに、√2(m)は約1.41(m)である。

この導入から、「デロスの倍積問題」へと展開する。


 1辺が1mの立方体がある。この立方体の体積を2倍にするには、

 立方体の1辺の長さは何mにすればよいだろうか?


正方形のときと同様に、図2から 3=2 より、

3乗して2になる数を考える必要があることがわかる。

そこで、3乗して2になる数を 3√2 と表すこととする。

よって、x=3√2(m)にすればよいことがわかる。

ちなみに、3√2(m)は約1.26(m)である。

「デロスの倍積問題」については、3√2の作図が定規とコンパスのみ

では不可能なことはそれから2000年以上たって初めて証明された

が、この時代のギリシャの数学者たちは、コンパスと定規以外の

補助手段を用いて作図することに成功した。

原理は図3のように、OA=1,OB=2になるように点A,Bを取り、

BY⊥XY、XY⊥AXとなるように点X,Yを取れば、3つの相似な三角形

ができ、OX=3√2 が作図できる。

作図には、図4のような道具を用いたそうである。

 

(参考文献)
[1]ベングト・ウリーン著,丹羽敏雄,森章吾共訳 (1995),『シュタイナー学校の数学読本』,三省堂,
  pp.11-18.