微分した式の具体的な意味を考察することによって、微分に興味をもち、単元の有用性を
感じることが、この教材のねらいである。
球の体積 Ｖ＝(4/3)πｒ3 の微分 Ｖ’＝4πｒ2 は球の表面積である。
では、球の表面積 Ｓ＝4πｒ2 の微分 Ｓ’＝8πr はいったい何を表すのだろうか？
円の面積 Ｓ＝πｒ2 の微分 Ｓ’＝2πr が円周の長さとなるわけだから、この 8πr も
球のどこかの長さなのだろうか？
球の表面を平面に開いてみると、図１のように、極の方にすきまが
できた図形の集まりと見ることができる。
この図形の上半分の1つの横の長さは、図１のように、赤道上の長さ１に
対して、 cos(π/ｒ) の長さで変化している。
つまり赤道上の長さ１に対するこの図形の面積は、
∫0(πr/2)cos(π/ｒ)dx＝[rsin(x/ｒ)]0(πr/2)＝r となる。
（※この部分は数学Ⅲの範囲のなので数学Ⅱの範囲では説明しない。）
よって球の表面は、図２のように、縦が 2r 、横が 2πr の
長方形に近似することができる。
この長方形の面積は確かに 2r ×2πr＝4πr2 になっている。
よって、球の表面を平面にすることができた。しかし、この平面の
周の長さは、 2πr×2＋2r×2＝4πr＋4r となり、8πr にはならない。
しかし、r→r＋dr とすると、図２のように、πr→π(r＋dr)＝πr＋πdr となるから、
面積の増加分はおよそ (2πr×dr)×2＋(2r×πdr)×2＝8πrdr となり、
8πr が何を意味するかがわかった。
つまり、半径で表面積を表した式を微分した式は、表面積を平面に開いた時の各面の周に
関係があるが、その平面の中心から各辺までの距離が違う場合、微小増加分にも増加の倍率
を考えなくてはならないので、その式は単純に周の長さにはならず、微小増加の倍率を考えた
各辺にできる微小面積の総和になると考えられる。