身のまわりの放物線を2次関数の式を用いて分析することで、2次関数と現実事象との関連や
単元の有用性を感じるのが、この教材のねらいである。
東京ドームで図1のように、V0=40m/t(=144km/h)の速度、45°の角度でバックスクリーン
方向に放たれた打球は、天井に当たらずに、スタンドまで届くホームランになるだろうか。
ただし、東京ドームの天井の高さは56m、バックスクリーンのフェンスまでの距離は120m、
フェンスの高さは6mとする。
x方向の速度Vx=40×cos45°=20√2m/t、
y方向の速度Vy=40×sin45°=20√2m/t
なので、重力加速度を10m/t2とし、空気抵抗、風、打球の回転等を
無視すると、
x=20√2t …①
y=20√2t-5t2 …② となる。
①より、t=x/20√2から、これを②に代入すると、y=-x2/160+x…③となる。これを平方完成すると、y=-(1/160)(x-80)2+40となるため、グラフは図2のようになる。
よって、打球の最高点は40mで天井には当たらず、
打球は160m飛ぶことになる。
また120m地点のフェンスに当たらないかを調べると、
x=120を代入して、y=-(1/160)(120-80)2+40=30となり、
120m地点でまだ打球の高さは30mもあり、
楽々とフェンスを越えてホームランになることがわかる。
東京ドームからの野球のラジオ実況中継でアナウンサーが次のように言った。
「打ったぁ、これはホームベースの真上に上がったキャッチャーフライ。キャッチャー構えて
取りました。あわや天井に当たるというかという大飛球でした。」
打球が上がっている間はちょうど6秒間だった。果たして本当に天井に当たりそうだった
のだろうか?ただし、東京ドームの天井の高さは56mであるとする。
打ち上げた打球の初速をV0m/tとすると、y=V0t-5t2 において、t=6 のときy=0になるから、
0=6V0-180より、V0=30m/t。よって、y=-5t2+30t…④となる。
これを平方完成すると、y=-5(t-3)2+45となり、yの最大値は45mとなる。
天井の高さは56mなので、まだ天井まで11mも余裕があったことがわかる。
最近は東京ドームの天井に当たる打球も多いが、ちなみに56mの天井に当る打球は、
初速V0=4√70≒33.5m/t以上で、滞空時間は(4√70)/5≒6.7秒以上であると考えられる。