4.4 大二十面体 The great icosahedron [3,5/2]



星形正多面体＝ケプラー・ポアンソの多面体の製作第4回目は，大二十面体です。

立体図形の模型作りはこれまでに，

1．プラトンの立体＝正多面体 5種類
2．アルキメデスの立体＝準正多面体 13種類
3．カタランの立体＝アルキメデス立体の双対 13種類

に続いて，第4回目のシリーズは
4．ケプラー・ポアンソの多面体
で，その
第1回は，4.1 星形小十二面体
第2回は，4.2 星形大十二面体
第3回は，4.3 大十二面体
でした。

なお，この記事はブログ<立体図形の模型作り> の内容を，まとめ上げたものです。


今回は，大二十面体です。
4種類あるうちの，第4作目です。

今回の，大二十面体は正三角形が20個から出来ているので，正二十面体とよく似ています。

とりあえず画像をどうぞ。
大きさが分かるように，CDのジャケツを並べました。

正三角形が互いに交わりあっているため，正三角形の位置関係が分かりにくい感じがします。
正三角形を色分けしてありますので，単一色モデルよりは，正三角形を認識しやすいと思います。
十二個の頂点に正三角形が5個集まりますが，正二十面体と違って星形5辺形状に集まっています。

5色モデルです。
隣り合った正三角形は互いに色が異なるように塗ってあります。
それでも5色で十分です。

正二十面体は正五角形が頂点で5個ずつ集まります。
このため，正二十面体は記号[3,5]と書かれます。

それにたいして，大二十面体は各頂点に正三角形が5個ずつ集まっています。
普通に集まるのではなく，頂点を上から見ると，星形正五角形の状態に集まっています。
このため大二十面体は，記号[3, 5/2]と表されます。
（なお，星形大十二面体は[5/2, 3]でしたから，5/2 と 3が入れ替わっています。）

3つの方向から見た写真をどうぞ。



展開図をアップしておきます。---> <大二十面体の展開図ダウンロード>

ここでの紙模型，つまり面模型としての構成要素は3種類の三角形です。
対称性を考えると2種類です。
正三角形同士の交わり方が大十二面体ほど簡単ではありません。
それもあって，展開図に黄金三角形は現れません。

図をどうぞ。

正三角形の辺を黄金分割することができれば，三角形が図のように得られます。

写真だけでは，図形の形状がわかりにくいので， 分かりやすいように，全体の見取り図をパソコン画面上で動かせるようにしました。
ぜひ動かしてみてください。

下の図にリンクしてありますので，クリックしてみてください。
まず新しいウィンドウでプラグインのインストールについてのセキュリティの確認をすると， Cabri3Dというソフトのプラグインがインストールされます。
インストールに同意して，インストールが終了すると，見取り図が表示されます。
その見取り図の上にカーソルを置いて，マウスの右ボタンを押して動かすと，マウスのポインターが回転用の矢印に変わります。

すると，図が回転して立体の形がよくわかります。

まずは，大二十面体の枠の部分の正二十面体に注目して眺めてください。

<大二十面体を動かす>

次は，正二十面体から（広い意味での）｢星形化｣（stellating)をする方法の外観図です。
芯の正二十面体における正三角形の面を延長して，大きな正三角形を作る，という意味での｢星形化｣です。
芯の正二十面体を赤く塗ってあります。
中がよく見えるように，一つの頂点周りの5つの正三角形しか示してありません。

<大二十面体（芯の正十二面体の星形化）を 動かす>

さて，ケプラー・ポアンソの立体はこれで終了です。
次は，いくつかの立方体の複合体を作っていきたいと思います。





トップページへ戻る...