渋谷 金王八幡宮の算額
伊佐爾波神社 【 嘉永7年(1850)正月 山崎昌竜門人吉田茂兵衛昌寿 奉納
｛原文｝ (カ・・個)
今有如圓交畫大員一个中員二个面其 容小員六个大員径五百九十三寸
問中員径幾何
答曰 中員径四百六十三寸有奇
術曰 置一十七 平方開之内 一 如乗大径四之得中径合問
｛原文の要訳｝
図のように、交差した大円１個と中円２個があって、その隙間に納まるように小円６個を内接させる。大円の直径が
593寸であるとき、中円の直径を求めよ。
｛計算方法｝
大円Ｏ(半径Ｒ)， 小円 Ａ（半径 ｒ)， 小円 Ｃ（半径 ｒ)， 中円 Ｂ（半径 ｘ)とする。
二つの小円の接点を Ｄとする。 ＢＤ ＝ ｙ とする。
直角三角形ＯＡＢにおいて ＯＡ^2 + ＯＢ^2 = ＡＢ^2 から (Ｒ - ｒ)^2 + ｘ^2 = (ｘ + ｒ)^2 ・・・①
直角三角形ＢＣＤにおいて ＢＤ^2 + ＣＤ^2 = ＢＣ^2 から ｙ^2 + ｒ^2 = (ｘ － ｒ)^2 ・・・②
直角三角形ＢＣＤにおいて ＣＤ^2 + ＯＤ^2 = ＯＣ^2 から ｒ^2 + (ｘ + ｙ)^2 = (Ｒ + ｒ)^2 ・・・③
①から Ｒ^2 - 2Ｒｒ + r^2 + ｘ^2 = x^2 + 2ｒｘ + ｒ^2 2ｒｘ = Ｒ^2 - 2Ｒｒ + r^2 + ｘ^2 - x^2 - ｒ^2
2ｒｘ = Ｒ^2 - 2Ｒｒ 2ｒｘ + 2Ｒｒ = Ｒ^2 2ｒ(ｘ+ Ｒ) = Ｒ^2 2ｒ = Ｒ^2/(ｘ+ Ｒ) ・・・④
②と④から ｙ^2 + ｒ^2 = ｘ^2 - 2ｒｘ + ｒ^2 ｙ^2 = ｘ^2 - 2ｒｘ ・・・⑤ ｙ^2 = ｘ^2 - (Ｒ^2ｘ/(ｘ+ Ｒ)) ・・・⑥
③と⑤から ｒ^2 + ｘ^2 + 2ｘｙ + ｘ^2 - 2ｒｘ = Ｒ^2 + 2Ｒｒ + r^2
2ｘ^2 + 2ｘｙ = Ｒ^2 + 2Ｒｒ 2ｘ^2 + 2ｘｙ = Ｒ^2 + 2Ｒｒ ＋ 2ｒｘ = Ｒ^2 ＋ 2ｒ(ｘ + Ｒ)
④を代する。 2ｘ^2 + 2ｘｙ = Ｒ^2 ＋ (Ｒ^2/(ｘ+ Ｒ)) (ｘ + Ｒ) ｘｙ = Ｒ^2 - ｘ^2 ｘ^2ｙ^2 = (Ｒ^2 - ｘ^2)^2
⑥を代入して、ｘについて整理すると ｘ^2(ｘ^2 - (Ｒ^2ｘ/(ｘ+ Ｒ))) = Ｒ^4 - 2Ｒ^2ｘ^2 + ｘ^4
ｘ^4 - (Ｒ^2ｘ^3/(ｘ+ Ｒ)) = Ｒ^4 - 2Ｒ^2ｘ^2 + ｘ^4 - (Ｒ^2ｘ^3/(ｘ+ Ｒ)) = Ｒ^4 - 2Ｒ^2ｘ^2
(Ｒ^2ｘ^3/(ｘ+ Ｒ)) = 2Ｒ^2ｘ^2 - Ｒ^4 (ｘ+ Ｒ)(Ｒ^2ｘ^3/(ｘ+ Ｒ)) = (ｘ+ Ｒ)(2Ｒ^2ｘ^2 - Ｒ^4)
Ｒ^2ｘ^3 = (2Ｒ^2ｘ^2 - Ｒ^4)(ｘ+ Ｒ) ｘ^3 = ((2Ｒ^2ｘ^2 - Ｒ^4)/Ｒ^2)(ｘ+ Ｒ)
ｘ^3 = (2ｘ^2 - Ｒ^2)(ｘ+ Ｒ) 2ｘ^3+ 2Ｒｘ^2 - Ｒ^2ｘ - Ｒ^3 = ｘ^3 2ｘ^3 - ｘ^3 + 2Ｒｘ^2 - Ｒ^2ｘ - Ｒ^3 = 0
ｘ^3 + 2Ｒｘ^2 - Ｒ^2ｘ - Ｒ^3 = 0 大円の直径が593寸より Ｒ = 593/2 ３次方程式を解く
ｘ^3 + 2Ｒｘ^2 - Ｒ^2ｘ - Ｒ^3 = ｘ^3 + 593ｘ^2 - (593/2)^2ｘ - (593/2)^3 =
ｘ^3 + 593ｘ^2 - 87912.25ｘ - 26065982.125 = 0
ｘ1 = -666.229 ｘ2 = -164.545 ｘ3 = 237.7745 （誤差＝-14.0628149807）
ｘ = 475.5 /2 寸 余り有
中円の直径 463 寸 余り有 (ｘ = 231.5)
☆☆3次方程式☆☆
★★現代の三次方程式の解の公式は長すぎる★★
3次方程式の解の公式は「カルダノの公式」、4次方程式の解の公式は「フェラーリの公式」と呼ばれています。
そして、実は5次方程式の解の公式は存在しないことが証明されているのです...
3次方程式 ｘ^3 + ａｘ^2 ＋ ｂｘ - ｃ = 0 の解は次の３つだと言えます。
【カルダノの公式】
詳細は、 3次方程式の解の公式 ・・・参照
★★江戸時代の和算で三次方程式を解きます★★
ｘ^3 + 593ｘ^2 - 87912.25ｘ - 26065982.125 = 0 ・・・を解きます
★ 「商」の位が、３桁のときの方程式の展開式★
X^3 = (a+b+c)^3 ★aは百の位、bは十の位、cは一の位★
(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc
X^2=(a+b+c)^2 ★aは百の位、bは十の位、cは一の位★
(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
ｘ^3 + 593ｘ^2 - 87912.25ｘ - 26065982.125 = 0 の展開式 X^3+12X^2-2234X+32867=0
25785066.75（２３７） 26148048.5（２３８）
(8000000) (4167000) (1145053)
a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+b) + 3bc(b+c) + 3ca(c+a) + 6abc (13312053)
(23720000) (7649700) (1938517)
593（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca） (33308217)
(-20835203.25)
- 87912.25(a+b+c) - 26065982.125 =0
★★a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+b) + 3bc(b+c) + 3ca(c+a) + 6abc +
593（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca）- 87912.25(a+b+c) - 26065982.125 = 0 ★★
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ① |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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① 商＝答，実＝定数項，法＝ x の係数，廉＝ x2 の係数，隅＝ x3の係数... ということです
ｘ^3 + 593ｘ^2 - 87912.25ｘ - 26065982.125 = 0
(隅) (廉) (法) (実）
隅＋廉ー法ー実 = ー実＋（－法）＋隅＋廉＝０
１０ ２０ －５ －２５ －２５ －５ １０ ２０
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ② |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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1ｘ^3 + 593ｘ^2 - 87912.25ｘ - 26065982.125 = 0
② 「商」の百の位を求める
-87912.25ｘ{ -87912.25(a+b+c)}の a=３００だと -87912.25 × ３００ = -26373675 で、
-26065982.125を、超える為、「商」の百の位を 2 とします。
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ③④ |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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－87912.25ｘ{87912.25(a+b+c)}より・・・- 87912.25a を求める
③ 「商」の２００と「法」を掛けて・・２００×－８７９１２．２５＝－１７５８２４５０ を「法」とする。
-43648432.125
④ 「法」の－１７５８２４５０ を[実」に加える。 －２６０６５９８２．１２５ ＋(－１７５８２４５０) = －４３６４８４３２．１２５
★「実」を －４３６４８４３２．１２５ に置き換える。
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ⑤⑥ |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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593ｘ^2{593（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca）}より・・・593a^2 を求める
⑤ 「商」の２００^2と「廉」の５９３を掛けて「廉」を ２３７２００００ に置き換える。。
⑥ 「廉」の２３７２００００ を[実」に加える。 －４３６４８４３２．１２５ ＋ ２３７２００００ = －１９９２８４３２．１２５
★「実」を －１９９２８４３２．１２５ に置き換える。
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ⑦⑧ |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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⑦ 1X^3 1{a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc}・・・1a^3 を求める
●「商」の２００^3 と「隅」の１を掛けて「隅」を ８００００００ に置き換える
●「隅」の８００００００を[実」に加える。 －１９９２８４３２．１２５ ＋ ８００００００ = -11928432.125
★「実」を -11928432.125 に置き換える。 -11928432.125
⑧ 百の位は終了です。 「商」十の位を予想して計算します。
a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc ・・・a^3+b^3・3ab(a+b) を求める
+593（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca） ・・・593（a^2+b^2+2ab) を求める
- 87912.25(a+b+c) - 26065982.125 = 0・・・- 87912.25(a+b) を求める
b^3 = 4０だと a^3+b^3 より 200^3+40^3 = 8064000 3ab(a+b) = 3×200×40(240) = 5760000
593（a^2+b^2+2ab) より 593（200^2+40^2) = 24668800 593×2ab = 593×2×200×40 = 9488000
- 87912.25(a+b) より - 87912.25(200+40) = -21098940
8064000+5760000+24668800+ 9488000-21098940 = 26881860
26881860 は 26065982.125を、超えた為、「商」の十の位を ３ とします。
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ⑨ |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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⑨- 87912.25ｘ{- 87912.25(a+b+c)}より・・・- 87912.25b を求める
－８７９１２．２５ ×３０ ＝ -2637367.5
● -2637367.5 を[法」に加える。 －１７５８２４５０ ＋(-2637367.5) = -20219817.5 を「法」とする。
●「法」の -20219817.5 を[実」に加える。 -11928432.125 ＋( -20219817.5) = -32148249.625
★「実」を -32148249.625 に置き換える。
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ⑩⑪ |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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593（200^2+30^2+7^2+2×200×30+2×30×7+2×7×200)=33308217
２３７２００００+7649700{31369700}
⑩ 593ｘ^2{593（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca）}より・・・593(b^2+2ab) を求める
● 593(b^2+2ab) を求める
５９３ × ３０^2 = 533700 593(２×２００×３０) = 7116000 533700＋7116000＝7649700
● 7649700 を「廉」と[実」に加える。 7649700＋ ２３７２００００ = 31369700 を「廉」とする。
-32148249.625 + 31369700 = -778549.625 を「実」とする。
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ⑫ |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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200^3+30^3+7^3+3×200×30(200+30)+3×30×7(30+7)+3×7×200(7+200)+6×200×30×7=13312053
a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+b) + 3bc(b+c) + 3ca(c+a) + 6abc
８００００００+ 4167000+1145053=13312053
- 87912.25(200+30+7)=-20835203.25
593（200^2+30^2+7^2+2×200×30+2×30×7+2×7×200)=33308217
200^3+30^3+7^3+3×200×30(200+30)+3×30×7(30+7)+3×7×200(7+200)+6×200×30×7=13312053
a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+b) + 3bc(b+c) + 3ca(c+a) + 6abc
⑫ X^3{a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc}・・・b^3+3ab(a+b) を求める
● b^3+3ab(a+b) を求める
３０^3 = 27000 3ab(a+b) = ３×２００×３０(２００＋３０) = 4140000 27000 + 4140000 = 4167000
● 4167000 を「隅」に加える。 ８００００００ + 4167000 = 12167000
● 4167000 を「実」に加える。 -778549.625 + 4167000 = 3388450.375
⑬ 十の位は終了です。 「商」一の位を予想して計算します。
ｘ^3 + 593ｘ^2 - 87912.25ｘ - 26065982.125 = 0 の展開式
a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+b) + 3bc(b+c) + 3ca(c+a) + 6abc +
593（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca）- 87912.25(a+b+c) - 26065982.125 =0
■ a＝２００ b＝３０ c＝８ とすると ■
a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+b) + 3bc(b+c) + 3ca(c+a) + 6abc +
593（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca）- 87912.25(a+b+c)＝26148048.5 となり 26065982.125 を超える為
c＝７ とします。
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ⑭ |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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⑭ - 87912.25ｘ{- 87912.25(a+b+c)}より・・・- 87912.25c を求める
－８７９１２．２５ ×７ ＝ -615385.75
● -615385.75 を[法」に加える。 -20219817.5＋(-615385.75) = -20835203.25 「法」とする。
●「法」の -20835203.25 を[実」に加える。 3388450.375 ＋(-20835203.25) = -17446752.875
★「実」を -17446752.875 に置き換える。
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ⑮ |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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593（200^2+30^2+7^2+2×200×30+2×30×7+2×7×200)=33308217
２３７２００００+7649700{31369700+1938517
⑮ 593ｘ^2{593（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca）}より・・・593(c^2+2bc+2ca) を求める
● 593(c^2+2bc+2ca) を求める
５９３ × ７^2 = 29057 593(２×３０×７) = 249060 593(２×７×２００)＝1660400
29057＋ 249060＋1660400＝1938517
● 1938517 を「廉」と[実」に加える。 1938517 ＋ 31369700 = 33308217 を「廉」とする。
-17446752.875 + 33308217 = 15861464.125 を「実」とする。
| 千万 |
百万 |
十万 |
万 |
千 |
百 |
十 |
一 |
分 |
厘 |
毛 |
糸 |
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| ⑯ |
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商 |
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実 |
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法 |
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廉 |
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隅 |
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⑯ X^3{a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc}・・・c^3+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc を求める
● c^3+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc を求める
7^3+3×30×7(30+7)+3×7×200(7+200)+6×200×30×7 = 1145053
● 1145053 を「隅」に加える。 12167000 + 1145053 = 13312053
● 4167000 を「実」に加える。 15861464.125 + 13312053 = 29173517.125
「実」が、 26065982.125 を超えたので、余り有です。
余りは、29173517.125 － 26065982.125 = 3107535
⑬ 「実」が ０ になり計算終了です。答えは、２３ です。
