【開立計算法】

ある数の立方根を求めること。

開平のメカニズムを拡張すると開立の筆算法が確立できる。開立法の本質は以下の代数式展開ができるところにある。

（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・）^3＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）

 　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ^3＋ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｄ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＋３（ａ＋ｂ＋ｃ）ｄ＋ｄ^2｝

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｅ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2＋３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）ｅ＋ｅ^2｝

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｆ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）^2＋３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）ｆ＋ｆ^2｝

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋・・・・・

 

例)　５２４１０１９７８０５．９６７ の立方根を求めよ。

  　　 　　　　　　　　　 _________________________________________

�@ 「小数点を基準」にして「３桁ずつ」区切っていく。 з√５２�U４１０�U１９７�U８０５.�U９６７ 

�A 一番左の数は５２で、３乗して ５２ より小さい数で最大のものを探し、立方根の首位３を求める。

�B ３^3＝２７を５２より引き、２５を出す。２５の横に上の４１０を下ろし、２５４１０ を作る。

　

  　　　 ____３�U_________________________________

  　　　 з√ ５２�U４１０�U１９７�U８０５�U９６７

  ａ^3 　　　 ２７�U                                                

-------------------------- 　　　 --- �U----------------------

  　　　 ２５�U４１０

�C ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）より　　(3x30^2+3x30xｂ+ｂ^2)xｂ=(2700+90xｂ+ｂ^2)xｂ≦２５410

  ｂ=7 の場合　(2700+90x7+7^2)x7=(2700+630+49)x7=23653

  ｂ=8 の場合　(2700+90x8+8^2)x8=(2700+720+64)x7=27872 ・・・ ２５410 を超える為　　ｂ=7 とする

 

  　　　 ____３�U____７�U_________________________________

  　　　 з√ ５２�U４１０�U１９７�U８０５�U９６７

  ａ^3 　　　 ２７�U      �U                                        

-------------------------- 　　　 --- �U----�U------------------

  ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2） 　　　　 ２５�U４１０�U

  　　　 ２３�U６５３�U　

-------------------------- 　　　 --- �U----�U------------------

  　　　 １�U７５７�U

�D ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝より　　｛3(300+70)^2+3(300+70)C+C^2｝xC=｛3(370)^2+3(370)C+C^2｝xC=

  ｛3(136900)+1110C+C^2｝xC=｛3(136900)+1110C+C^2｝xC=(410700+1110C+C^2)xC ≦ １７５７１９７

  C=4 の場合 (410700+4440+16)x4=1660624

  C=5 の場合 (410700+5550+25)x5=2081375 ・・・ １７５７１９７ を超える為　　C=４ とする

  　　　 ____３�U____７�U____４�U_______________

  　　　 з√ ５２�U４１０�U１９７�U８０５�U９６７

  ａ^3 　　　 ２７�U      �U                                        

-------------------------- 　　　 --- �U----�U------------------

  ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2） 　　　　 ２５�U４１０�U

  　　　 ２３�U６５３�U　

-------------------------- 　　　 --- �U----�U------------------

　ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝　　　 　　 　１�U７５７�U１９７�U

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　１�U６６０�U６２４�U

-------------------------- 　　　 --- �U----�U----�U--------------

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�U　９６�U５７３�U

�E ｄ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＋３（ａ＋ｂ＋ｃ）ｄ＋ｄ^2｝より　　｛3(3000+700+40)^2+3(3000+700+40)ｄ+ｄ^2｝xｄ=

  ｛3(3740)^2+3(3740)ｄ+ｄ^2｝xｄ=(41962800+11220ｄ+ｄ^2)xｄ ≦ ９６５７３８０５

  ｄ=２　の場合　(41962800+22440+4)x2= 83970488

  ｄ=３　の場合　(41962800+33660+9)x3= 125989407 ・・・ ９６５７３８０５　を超える為　ｄ=２　とする

  　　　 ____３�U____７�U____４�U ___２�U______

  　　　 з√ ５２�U４１０�U１９７�U８０５�U９６７

  ａ^3 　　　 ２７�U      �U                                        

-------------------------- 　　　 --- �U----�U------------------

  ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2） 　　　　 ２５�U４１０�U

  　　　 ２３�U６５３�U　

-------------------------- 　　　 --- �U----�U------------------

　ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝ 　　　　　 　１�U７５７�U１９７�U

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　１�U６６０�U６２４�U

-------------------------- 　　　 --- �U----�U----�U--------------

　ｄ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＋３（ａ＋ｂ＋ｃ）ｄ＋ｄ^2 　　９６�U５７３�U８０５.�U

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８３�U９７０�U４８８ �U

  ----�U----�U----�U---------

  １２�U６０３�U３１７ �U９６７

�F ｅ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2＋３（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）ｅ＋ｅ^2｝より　　

　｛3(30000+7000+400+20)^2+3(30000+7000+400+20)ｅ+ｅ^2｝xｅ=｛3(37420)^2+3(37420)ｅ+ｅ^2｝xｅ=

　(4200769200+112260ｅ+e^2)xe ≦ １２６０３３１７９６７

  ｅ=２　の場合　(4200769200+224520+4)x2= 8401987448

  ｅ=３　の場合　(4200769200+336780+9)x3= 12603317967 ・・・ １２６０３３１７９６７ と等しい為　 ｅ=３　とする。

  　　　   

   

  　　　　　　 ____３�U____７�U____４�U ___２�U___３___

  　　　　 　　з√ ５２�U４１０�U１９７�U８０５�U９６７

  ａ^3 　　　 　　　 ２７�U      �U                                        

-------------------------- 　　　 　　　 --- �U----�U------------------

  ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2） 　　　　　　　 ２５�U４１０�U

  　　　 　　　 ２３�U６５３�U　

-------------------------- 　　　　　　 --- �U----�U------------------

　ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝ 　　　　　　　　 　１�U７５７�U１９７�U

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　１�U６６０�U６２４�U

-------------------------- 　　　　　　 --- �U----�U----�U--------------

　ｄ｛３（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＋３（ａ＋ｂ＋ｃ）ｄ＋ｄ^2 　　　 　　９６�U５７３�U８０５.�U

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８３�U９７０�U４８８ �U

------------------------- 　　　 ----�U----�U---- �U---------

  　　　 １２�U６０３�U３１７ �U９６７

　∴　５２４１０１９７８０５９６７ の立方根の解は　３７４２３_です。

  　　　　　　　　　　　　　 　◆「算法闕疑抄」第2巻「開立法」に記載された例題◆

寸（１寸＝約 30.303 mm）単位の体積が　１８６０．８６７坪（１坪＝約3.305 78m2）ある。

これを開立すれば一辺の長さは、いかほどか？

■「開立法」における、そろばん上の表記■

「法」・・・分母の数にあたるもの。

「商」・・・割り算の結果。

「実」・・・分子の数にあたるもの。

  【開立法の以下の代数式展開を用いる】

  a^3+ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）+ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝

  　　               

�@実に　１８６０．８６７ と置く｛「「小数点を基準」にして「３ 桁ずつ」区切っていく。１�U８６０.�U８６７。 位を見て　

�Aまず千の位の１より　「一の位の商　10寸（一尺）」が立つ。   

　■ a^3＝１　より　ａ＝１         

�B「一の位の商」を３乗して１０００坪を商より引く、残り ８６０．８６７

�Cまず「二の位の商に　２」を立てる。法１に「一の位の商 １０」を２乗して，３掛けして ３００　を法１に置く。　

　

　■ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）　より　(3x10^2+3x10xｂ+ｂ^2)xｂ=(300+30xｂ+ｂ^2)xｂ ≦ １８６０．０８６７

  ｂ=２の場合　(300+30x2+2^2)x2= 728

  ｂ=3の場合　(300+30x3+3^2)x3= 1197 ・・・ ８６０ を超える為　　ｂ=２ とする

�D「一の位の商　１０」と「二の位の商　２」を掛け合い ２０ を、３掛けして ６０　を法１に加える。

  「二の位の商　２」を２乗して，４ を法１に加え、法１を ３６４ とする。

 

�E「二の位の商　２寸」を法１と掛け合い、法１を ７２８ とする。

�F次に「二の位の商に　３」を立てる。法２に「一の位の商 １０」を２乗して，３掛けして ３００　を法２に置く。　

�G「一の位の商　１０」と「二の位の商　３」を掛け合い ３０ を、３掛けして ９０　を法２に加える。

  「二の位の商　３」を２乗して，９ を法２に加え、法２を ３９９ とする。

 

�H「二の位の商　３寸」を法１と掛け合い、法２を １１９７ とする。実の ８６０ を超える為

   「二の位の商」　を　２寸とする。法１の ７２８　を実より引き、実を １３２８６７ とする。

�Iまず「三の位の商に　２」を立てる。法１に「一の位の商 １００ に二の位の商　２０」を加え、２乗して（１２０×１２０）から

 　３掛けして ４３２００　を法１に置く。　　

　

　■ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝より　　｛3(100+20)^2+3(100+20)C+C^2｝xC=｛3(120)^2+3(120)C+C^2｝xC=

  ｛3(14400)+360C+C^2｝xC=(43200+360C+C^2)xC

  C=２の場合 (43200+720+4)x２=87848

  C=３ の場合 (43200+1080+9)x3=13286 ・・・１３２８６７ と等しい為　　C=３ とする

�J「一の位の商 １００ に二の位の商　２０」を加え １２０ を、３掛けした ３６０　を「三の位の商 ２」倍　７２０ を

　　法１に加える。 「三の位の商　２」を２乗して，４ を法１に加え、法１を ４３９２４ とする。

�K法１を「三の位の商 ２」倍した ８７８４８ を法１に置く。

�L次に「三の位の商に　３」を立てる。法２に「一の位の商 １００ に二の位の商　２０」を加え、２乗して（１２０×１２０）から

 　３掛けして ４３２００　を法２に置く。　　(43200+1080+9)x3=13286７　ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝

�M「一の位の商 １００ に二の位の商　２０」を加え １２０ を、３掛けした ３６０　を「三の位の商 ３」倍　１０８０ を

　　法２に加える。 「三の位の商　３」を２乗して，９ を法２に加え、法２を ４４２８９ とする。

�N「三の位の商　３寸」を法１と掛け合い、法２を １３２８６７ とする。実の １３２８６７ と等しい為

   「三の位の商」　を　３寸とする。

�O法２の １３２８６７　を実より引き、実を ０ とする。商の　１２．３ 寸が、求める解です

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【現代の方法で解を求める】

　１８６０．８６７ の立方根を求めよ。 

　

   （ａ＋ｂ）^2= a^2+2ab+b^2 ∴c{３（ａ＋ｂ）^2}=3a^2c+6abc+3b^2

　（ａ＋ｂ＋ｃ)^3=.a^3+3a2b+3ab^2+b^3+3a^2c+6abc+3b^2c+3ac^2+3bc^2+c^3=

  a3+ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）+ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝

  　　 _____________________

�@ 「小数点を基準」にして「３桁ずつ」区切っていく。 з√１�U８６０.�U８６７ 　 

　　

�A 一番左の数は１で、３乗して １の立方根の首位１ を求める。

�B １^3＝１ を１より引き、０ を出す。０の横に上の８６０を下ろし、０８６０ を作る。

　

  　　　 __１�U________________

  　　　 з√ １�U８６０.�U８６７

  ａ^3 　　　 　１�U                                                

-------------------------- 　　　 --- �U----------------------

  　 　 ０�U８６０�U

�C ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）より　　(3x10^2+3x10xｂ+ｂ^2)xｂ=(300+30xｂ+ｂ^2)xｂ ≦ １８６０．０８６７

  ｂ=２の場合　(300+30x2+2^2)x2= 728

  ｂ=3の場合　(300+30x3+3^2)x3= 1197 ・・・ ８６０ を超える為　　ｂ=２ とする

 

  　　　 __１�U____２�U_________________________________

  　 　з√ １�U８６０.�U８６７

  ａ^3 　　 １�U８６０ �U                                        

-------------------------- 　　 --- �U----�U------------------

  ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2） 　　　　 ０�U８６０�U      

  �U７２８�U

-------------------------- 　　 --- �U----�U------------------

  　　　 �U１３２�U８６７

�D ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝より　　｛3(100+20)^2+3(100+20)C+C^2｝xC=｛3(120)^2+3(120)C+C^2｝xC=

  ｛3(14400)+360C+C^2｝xC=(43200+360C+C^2)xC

  C=２の場合 (43200+720+4)x3=87848

  C=３ の場合 (43200+1080+9)x3=13286 ・・・１３２８６７ と等しい為　　C=３ とする

  　　　 __１�U____２�U_____３___

  　　　 з√ １�U８６０.�U８６７

  ａ^3 　　　 １�U８６０ �U                                       

-------------------------- 　　 --- �U----�U------------------

  ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2） 　　　　 ０�U８６０�U      

  �U７２８�U

 ------------------------- 　　　 --- �U----�U------------------

　ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝　　　 　　 　�U１３２�U８６７

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 �U１３２�U８６７

 ------------------------- 　　 --- �U----�U------------------　　　　

  ０

　∴　１８６０．８６７ の立方根の解は　１２．３　です。