【五乗根】

（ａ＋ｂ）^5＝ａ^5+5ａ^4ｂ+10ａ^3ｂ^2+10ａ^2ｂ^3+5ａｂ^4+ｂ^5 ＝ａ^5+ｂ(5ａ^4+10ａ^3ｂ+10ａ^2ｂ^2+5ａｂ^3+ｂ^4)

　　　　　　

  【単利法と複利法】

「単利法」とは、当初預けた元本に対してのみ利息がつきます。利息を再運用することはしません。

「複利法」はこれとは異なり、当初預けた元本についた利息をどんどん元本に組み入れて新たな元本とし、利息を再運用する方法です。

このため、利息が元本に組み込まれ、元本自体が大きくなっていきます。

  【単利法の計算】

単利法の計算では 　a(1+nr)=b a(1+nr)=b が成立する

ただし，a は元金，r は年利率，n は年数，b は n 年経過時の金額。

初期状態：元金 a  

1年経過時の金額：「元金＋この1年で増えた利子のぶん」で，a+ar=a(1+r) 

2年経過時の金額：「1年経過時の金額＋この1年で増えた利子のぶん」で，a(1+r)+ar=a(1+2r) 

 

同様に考えることで， n 年後の金額は， b=a(1+nr) 

  【複利法の計算】

複利法の計算では　 a(1+r) n =b a(1+r)n=b が成立する。

ただし，a は元金，r は年利率，n は年数，b は n 年経過時の金額。

初期状態：元金 a 

1年経過時の金額：「元金＋この1年で増えた利子のぶん」で，a+ar=a(1+r) 

2年経過時の金額：「1年経過時の金額＋この1年で増えた利子のぶん」で，

a(1+r)+a(1+r)r =a(1+r) 2 =a(1+r)＾2

3年経過時の金額：「2年経過時の金額＋この1年で増えた利子のぶん」で，

a(1+r) ＾2 + a(1+r)＾2r=a(1+r)＾3

同様に考えることで， n 年後の金額は， b=a(1+r) ^n 

例)５石を5年貸し、１２．４４１６石取るときは、年利何割の利息になるか。  

　※石(こく)は容量の単位で、1石は10斗＝100升＝約180リットル。米1石の重さは約140〜150kg。

　※外何割・・・元本の他に、何割かの利息　元本を１０とするとき、利息は２、元利合計は１２である

　　 内何割・・・元本の内に、何割かの利息。元本を８とするとき、利息は２となる。元利合計は１２である　

　　　　　　　　　外２割を内に直すと　２ ÷ ８　＝ ０．２５　となる。（利率は２割５分）

�@本利ともに１２．４４１６と置き、５石にて割れば２．４８８３２となる。これを実に置く。

�A初商に１と立て、法で１を５度掛け合い、実から引けば１．４８８３２となる。

�B「次の商に　０．２」を立てる。法に「初商 １」を４度掛け合い，５倍して ５　を法に置く。　

■ｂ(5ａ^4+10ａ^3ｂ+10ａ^2ｂ^2+5ａｂ^3+ｂ^4)　

0.2(5x1^4 + 10x1^3x0.2 + 10x1^2x0.2^2 + 5x1x0.2^3 + 0.2^4) 

�C「初商 １」を３度掛け合い，１　と「次の商　０．２」を掛け、１０倍した ２ を法に加える。　

�E「初商 １」を２度掛け合い，１　と「次の商　０．２を２度掛け合いした ０．０４」を掛け、１０倍した ０．４ を法に加える。　

 5x1x0.2^3 + 0.2^4 　5ａｂ^3+ｂ^4)

�F「初商 １」 と「次の商　０．２を３度掛け合いした ０．００８」を掛け、１０倍した ０．０４ を法に加える。　

�G法の ７．４４１６ と 「次の商　０．２」を掛け合い １．４８８３２ と成る。

�H法の７．４４１６ を実より引き、実を ０ とする。商の　１．２ で、外２割 が求める解です

               

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【現代の方法で解を求める】

 ２．４８３２ の五乗根を求めよ。

  　　 　　　　　　　　　 　　 ______________________

�@ 「小数点を基準」にして「２桁ずつ」区切っていく。 　　 5√２．�U４８�U８３�U２ 

�A 一番左の数は２で、５乗して ２ より小さい整数 １ を求める。

�B １^5＝１を２より引き、１を出す。１の横に上のを下ろし、４８８３２ を作る。

  　　 　　　 __１__�U２_______________

  　　 　　　 5√２．�U４８�U８３�U２ 

ａ^5 　 　　 　　　 １

-------------------------- 　　　 　 　　　　 --- �U------------

ｂ(5ａ^4+10ａ^3ｂ+10ａ^2ｂ^2+5ａｂ^3+ｂ^4)　より　ｂ=0.2　とする。 １ �U４８�U８３�U２

0.2(5x1^4 + 10x1^3x0.2 + 10x1^2x0.2^2 + 5x1x0.2^3 + 0.2^4) 　 １ �U４８�U８３�U２

-------------------------- 　　　 　 　　　　 --- �U------------　　　　　　

  　 　　　　 　　　　　　　　　　　　０ 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 

　∴　２．４８３２ の五乗根 の立方根の解は　１．２_です。

---

  　　　　　　　　　　　　　 　◆「算法闕疑抄」第2巻「開立法」に記載された例題◆

寸（１寸＝約 30.303 mm）単位の体積が　１８６０．８６７坪（１坪＝約3.305 78m2）ある。

これを開立すれば一辺の長さは、いかほどか？

■「開立法」における、そろばん上の表記■

「法」・・・分母の数にあたるもの。

「商」・・・割り算の結果。

「実」・・・分子の数にあたるもの。

  【開立法の以下の代数式展開を用いる】

  a^3+ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）+ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝

  　　               

�@実に　１８６０．８６７ と置く｛「「小数点を基準」にして「３ 桁ずつ」区切っていく。１�U８６０.�U８６７。 位を見て　

�Aまず千の位の１より　「一の位の商　10寸（一尺）」が立つ。   

　■ a^3＝１　より　ａ＝１         

�B「一の位の商」を３乗して１０００坪を商より引く、残り ８６０．８６７

�Cまず「二の位の商に　２」を立てる。法１に「一の位の商 １０」を２乗して，３掛けして ３００　を法１に置く。　

　

　■ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）　より　(3x10^2+3x10xｂ+ｂ^2)xｂ=(300+30xｂ+ｂ^2)xｂ ≦ １８６０．０８６７

  ｂ=２の場合　(300+30x2+2^2)x2= 728

  ｂ=3の場合　(300+30x3+3^2)x3= 1197 ・・・ ８６０ を超える為　　ｂ=２ とする

�D「一の位の商　１０」と「二の位の商　２」を掛け合い ２０ を、３掛けして ６０　を法１に加える。

  「二の位の商　２」を２乗して，４ を法１に加え、法１を ３６４ とする。

 

�E「二の位の商　２寸」を法１と掛け合い、法１を ７２８ とする。

�F次に「二の位の商に　３」を立てる。法２に「一の位の商 １０」を２乗して，３掛けして ３００　を法２に置く。　

�G「一の位の商　１０」と「二の位の商　３」を掛け合い ３０ を、３掛けして ９０　を法２に加える。

  「二の位の商　３」を２乗して，９ を法２に加え、法２を ３９９ とする。

 

�H「二の位の商　３寸」を法１と掛け合い、法２を １１９７ とする。実の ８６０ を超える為

   「二の位の商」　を　２寸とする。法１の ７２８　を実より引き、実を １３２８６７ とする。

�Iまず「三の位の商に　２」を立てる。法１に「一の位の商 １００ に二の位の商　２０」を加え、２乗して（１２０×１２０）から

 　３掛けして ４３２００　を法１に置く。　　

　

　■ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝より　　｛3(100+20)^2+3(100+20)C+C^2｝xC=｛3(120)^2+3(120)C+C^2｝xC=

  ｛3(14400)+360C+C^2｝xC=(43200+360C+C^2)xC

  C=２の場合 (43200+720+4)x２=87848

  C=３ の場合 (43200+1080+9)x3=13286 ・・・１３２８６７ と等しい為　　C=３ とする

�J「一の位の商 １００ に二の位の商　２０」を加え １２０ を、３掛けした ３６０　を「三の位の商 ２」倍　７２０ を

　　法１に加える。 「三の位の商　２」を２乗して，４ を法１に加え、法１を ４３９２４ とする。

�K法１を「三の位の商 ２」倍した ８７８４８ を法１に置く。

�L次に「三の位の商に　３」を立てる。法２に「一の位の商 １００ に二の位の商　２０」を加え、２乗して（１２０×１２０）から

 　３掛けして ４３２００　を法２に置く。　　(43200+1080+9)x3=13286７　ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝

�M「一の位の商 １００ に二の位の商　２０」を加え １２０ を、３掛けした ３６０　を「三の位の商 ３」倍　１０８０ を

　　法２に加える。 「三の位の商　３」を２乗して，９ を法２に加え、法２を ４４２８９ とする。

�N「三の位の商　３寸」を法１と掛け合い、法２を １３２８６７ とする。実の １３２８６７ と等しい為

   「三の位の商」　を　３寸とする。

�O法２の １３２８６７　を実より引き、実を ０ とする。商の　１２．３ 寸が、求める解です

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【現代の方法で解を求める】

　１８６０．８６７ の立方根を求めよ。 

　

   （ａ＋ｂ）^2= a^2+2ab+b^2 ∴c{３（ａ＋ｂ）^2}=3a^2c+6abc+3b^2

　（ａ＋ｂ＋ｃ)^3=.a^3+3a2b+3ab^2+b^3+3a^2c+6abc+3b^2c+3ac^2+3bc^2+c^3=

  a3+ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）+ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝

  　　 _____________________

�@ 「小数点を基準」にして「３桁ずつ」区切っていく。 з√１�U８６０.�U８６７ 　 

　　

�A 一番左の数は１で、３乗して １の立方根の首位１ を求める。

�B １^3＝１ を１より引き、０ を出す。０の横に上の８６０を下ろし、０８６０ を作る。

　

  　　　 __１�U________________

  　　　 з√ １�U８６０.�U８６７

  ａ^3 　　　 　１�U                                                

-------------------------- 　　　 --- �U----------------------

  　 　 ０�U８６０�U

�C ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2）より　　(3x10^2+3x10xｂ+ｂ^2)xｂ=(300+30xｂ+ｂ^2)xｂ ≦ １８６０．０８６７

  ｂ=２の場合　(300+30x2+2^2)x2= 728

  ｂ=3の場合　(300+30x3+3^2)x3= 1197 ・・・ ８６０ を超える為　　ｂ=２ とする

 

  　　　 __１�U____２�U_________________________________

  　 　з√ １�U８６０.�U８６７

  ａ^3 　　 １�U８６０ �U                                        

-------------------------- 　　 --- �U----�U------------------

  ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2） 　　　　 ０�U８６０�U      

  �U７２８�U

-------------------------- 　　 --- �U----�U------------------

  　　　 �U１３２�U８６７

�D ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝より　　｛3(100+20)^2+3(100+20)C+C^2｝xC=｛3(120)^2+3(120)C+C^2｝xC=

  ｛3(14400)+360C+C^2｝xC=(43200+360C+C^2)xC

  C=２の場合 (43200+720+4)x3=87848

  C=３ の場合 (43200+1080+9)x3=13286 ・・・１３２８６７ と等しい為　　C=３ とする

  　　　 __１�U____２�U_____３___

  　　　 з√ １�U８６０.�U８６７

  ａ^3 　　　 １�U８６０ �U                                       

-------------------------- 　　 --- �U----�U------------------

  ｂ（３ａ^2＋３ａｂ＋ｂ^2） 　　　　 ０�U８６０�U      

  �U７２８�U

 ------------------------- 　　　 --- �U----�U------------------

　ｃ｛３（ａ＋ｂ）^2＋３（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ^2｝　　　 　　 　�U１３２�U８６７

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 �U１３２�U８６７

 ------------------------- 　　 --- �U----�U------------------　　　　

  ０

　∴　１８６０．８６７ の立方根の解は　１２．３　です。