そろばん
【そろばん 開平計算】
◆「算法闕疑抄」第2巻「開平法(平方根の値を求める方法)」に記載された例題◆
寸（１寸＝約 30.303 mm）単位の面積が １５１．２９坪（１坪＝約3.305 78m2）ある。
これを開平すれば一辺の長さは、いかほどか？
■そろばん上の表記■
「法」・・・分母の数にあたるもの。
「商」・・・割り算の結果。
「実」・・・分子の数にあたるもの。
■例題の術（方法・手段）■
①実に １５１．２９ と置く｛「「小数点を基準」にして「２ 桁ずつ」区切っていく。１￤５１￤２９ となる｝。 位を見て
②まず百の位の１より 「一の位の商 10寸（一尺）」が立つ。
③１０×１０＝１００ を実より引く
④「二の位の商 ２」が立つ。法に「一の位の商 １０」を２倍にして置く、 ２０ となる。
⑤これに「二の位の商 ２」を加え 法を 22 とする。
⑥「一の位の法 ２０」 を2倍して実より引く・・・ ２０×２＝４０ を実より引く。
⑦「二の位の法 ２」 を2倍して実より引く・・・ ２×２＝４ を実より引く。 実の残りは ７．２９。
⑧「三の位の商 ０．３」が立つ。法に「一二の位の商一尺二寸」を2倍にして ２４ を法に置く。
⑨法に、いま立てた ０．３ を加え ２４．３ とする。
⑩２０×０．３＝６ を実より引く
⑪４×０．３＝１．２ を実より引く
⑫０．３×０．３＝０．０９ を実より引く。 実が ０ になり 商の １２．３ 寸が、求める解です。
【開平法】
開平法の本質は以下の代数式展開ができるところにある。
（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・）２＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋・・・・・・・）
＝ａ２＋２ａｂ＋２ａｃ＋２ａｄ＋２ａｅ＋・・・・
＋ｂ２＋２ｂｃ＋２ｂｄ＋２ｂｅ＋・・・・
＋ｃ２＋２ｃｄ＋２ｃｅ＋・・・・
＋ｄ２＋２ｄｅ＋・・・・
＋ｅ２＋・・・・
＝ａ２＋ｂ（２ａ＋ｂ）
＋ｃ｛２（ａ＋ｂ）＋ｃ｝
＋ｄ｛２（ａ＋ｂ＋ｃ）＋ｄ｝
＋ｅ｛２（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）＋ｅ｝
＋・・・・・
【開平法で検証する】
＿＿＿＿＿
√ １５１．２９ の値を開平法で計算する．
① 151．２９ をルートの中に書き，「小数点を基準」にして「２ 桁ずつ」区切っていく．
また，横にスペースをとっておく．
② 一番左の数は１で ２乗して１ を超えない最大の数 １を，図のように３ ヶ所に書く．
__１￤_____ ￤_____ １
√ １￤５１．￤２９ １
③（１× １） = １ を １の下に書き，１から １を引く．
そして，５１ を下に下ろす．また，その横で １+ １= ２ を計算する．
__１￤_____ ￤_____ １
√ １￤５１．￤２９ １
１ ___
ーーーー ２ （１+ １= ２）
０ ５１．
④ 「２?」に「?」を掛けて「５１」を超えない，最大の 1 桁の整数 ? を求める．
２ ２× ２ = ４４ ≦ ５１ < ２３× ３ = ６９
であるので，? は ２ これを ３ ヶ所に書き込む
__１￤__２_ ￤_____ １
√ １￤５１．￤２９ １
１ ___
ーーーー ２２ （１+ １= ２）
０ ５１． ２
⑤ ２ ２× ２ の結果４４ を ５１の下に書き， ５１から引く．そして，２４を下に下ろす．さらに，
小数点を打つ．また，６１ + １ を横で計算しておく．
__１￤__２_ ￤_____ １
√ １￤５１．￤２９ １
１ _____
ーーーー ２２ （１+ １= ２）
０ ５１． ２
４４ _____
___________ ２４ （２２ + ２ = ２４）
７
⑥ 「２４?」に「?」を掛けて「７２９」を超えない，最大の 1 桁の整数 ? を求める．
２４３× ３ = ７２９ ≦ ７２９ < ２４４ × ４ = ９７６
より ? は ３ であり，７２９ -２４３× ３ = ７２９ = 0 なので計算は完了．
= １２．３ とわかる．
__１￤__２_ ￤__３___ １
√ １￤５１．￤２９ １
１ _____
ーーーー ２２ （１+ １= ２）
０ ５１． ２
４４ _____
____________________ ２４ （２２ + ２ = ２４）
７ ￤２９ ３
７ ￤２９
ーーーーーーー
０
