｛原文｝

今有如図円台内容甲乙六球充内無動甲球径若干乙球径若干問得上径術如何 

答曰 如左術　　　術曰以乙径減甲径余半之名木自之以減甲乙径相乗二段余三除之平方開之加木名火減木名土

之火除土名金加一個名水自之内減金余平方開之加水乗乙径為実○置三個平方開之以除実得上径合問 　　　

図のように、円錐台の内に甲乙６つの球が接して動かないようにある。ここで、甲球の直径と乙球の直径とを用いて円錐台の

上底の円の直径を求める方法は、どのようであるか。

【計算方法】　甲球の直径から乙球の直径を引き、それを２で割ったものを木と名付ける。

木の２乗を甲乙球の直径を掛け合わせて２倍したものから引き、それを３で割って

平方に開いたものに木を足した結果を火と名付け、木を引いた結果を土と名付ける。

土を火で割った結果を金と名付ける。金に１を足した結果を水と名付ける。

水を２乗してそこから金を引いたものを平方に開き、それに水を足したものに乙球の直径を掛けた結果を３を平方に開いた数

で割れば円錐台の上底の円の直径が求められる。　　

甲球をＫ（ｋ），Ｋ2（ｋ），Ｋ3（ｋ），乙球を Ｌ（L）円錐台の上底の円の直径ＡＤ＝ｘ とする。

Ｋ2（ｋ），Ｋ3（ｋ）球の接線ＴとＬとの距離ＬＴは

ＬＴ＝1/2√L＾2＋2KL

また３甲球の重心をＯ，３乙球の重心をＯ1とする。

ＯＴ＝√３ｋ／６ Ｏ’Ｌ＝√３L／３　であるから

ＬＳ＝ＬＴ＾2−ＴＳ＾2＝ＬＴ＾2−（ＯＳ−ＯＴ）＾2＝

（（L＾2＋2KL）／４）−（（√３（２L−K）／６）＾2＝（１０KL−K＾2−L＾2）／１２＝

（８KL−K＾2＋２KL−L＾2）／１２＝２KL／３−（（K−L）／２）＾2×１／３

【（K−L）／２＝Ｈ　　とする】　　ＬＳ＝√（２KL−Ｈ＾2／３）

円錐台は回転台であり、回転軸をＥＦとし、半回転したものを Ｌ0 とする

また円錐台の母線ＡＢは、Ｋ(K)，Ｌ(L)の接線となる。

Ｌ0ＭＷ は、 ＡＢ に平行とし、ＧＬ0 Ｓ0 は Ｋ0 に垂直とする。

円錐台の上底の円の直径 ｘ　は　∠ＡＬ0Ｖ ＝α (アルファ）　として

ｘ＝２（ＡＥ）＝２（ＡＧ＋ＧＥ）＝２（ＧＬ0Ｔａｎα＋Ｌ0Ｏ0）　である・・・�@

※　Ｔａｎα＝ＡＧ／ＧＬ0　　ＡＧ＝ＧＬ0×Ｔａｎα

∠ＧＬ0Ｇ0＝β （ベータ）　とする。　　　β＝２α　α＝β／２　であり

∠ＧＬ0Ｇ0＝∠Ａ0ＡＢ＝∠ＡＷＯ0＝β　である。

直角三角形Ｌ0ＭＫ Ｌ0ＫＳ0 において  

Ｌ0Ｍ＝ｃ 　ＭＫ＝ｄ　 ＫＳ0＝ｅ 　Ｌ0Ｓ0＝ｆ 　とする

ｄ＝(ｋ−L)／２ ＝ Ｈ　　ｆ＝ＬＳ＝√(２ｋL−Ｈ＾2)／３

ｅ＝Ｋ0−Ｓ0Ｏ＝Ｋ0−Ｌ0Ｏ0＝（√３ｋ／３）−（√３L／３）＝（√３（ｋ−L））／３＝

２√３／３×（ｋ−L）／２＝２√３Ｈ／３　　　　　　※ （ｋ−L）／２＝Ｈ

ｃ＾2＝(ｆ＾2＋ｅ＾2)−ｄ＾2＝(２ｋL−Ｈ＾2)／３＋４Ｈ＾2／３−３Ｈ＾2／３＝

２ｋL／３　　　　　ｃ＝√（２ｋL／３）　

Ｌ0Ｗ＝ｐ　　　ＷＳ0＝ｑ　とする　　　　　　　　　【相似記号の　∽】

直角三角形ＫＭＷ∽ Ｌ0Ｓ0Ｗ 　ＷＭ：ＷＳ0＝ＭＫ：Ｌ0Ｓ0　 （ｐ−ｃ）：ｑ＝ｄ：ｆ　

ｐｆ−ｃｆ＝ｑｄ・・・�A　　両辺にｆをかける　　　ｑｄｆ＝ｐｆ＾2−ｃｆ＾2

ＫＷ：Ｌ0Ｗ＝ＭＫ：Ｌ0Ｓ0 　　（ｑ−ｅ）：ｐ＝ｄ：ｆ　　　　ｑｆ−ｅｆ＝ｐｄ・・・�B　

両辺にｄをかける　　ｑｄｆ＝ｐｄ＾2＋ｅｄｆ　　 ｐｆ＾2−ｃｆ＾2＝ｐｄ＾2＋ｅｄｆ

ｐ（ｆ＾2−ｄ＾2）＝ｅｄｆ＋ｃｆ＾2　　ｐ＝（ｃｆ＾2＋ｅｄｆ）／（ｆ＾2−ｄ＾2）　

�A式より，両辺にｄをかける　　　　ｄｆｐ＝ｄ＾2ｑ＋ｃｄｆ　　　

�B式より，両辺にｆをかける　　　　ｄｆｐ＝ｑｆ＾2−ｅｆ＾2　　　　

ｑｆ＾2−ｅｆ＾2＝ｄ＾2ｑ＋ｃｄｆ　　（ｆ＾2−ｄ＾2）ｑ＝ｅｆ＾2＋ｃｄｆ

ｑ＝（ｅｆ＾2＋ｃｄｆ）／（ｆ＾2−ｄ＾2）

　　　　　　　　　　　　　【三角比の公式】

tanA=sinA/cosAの証明

図の△ＡＢＣにおいて、　ｓｉｎA＝ａ／ｃより 

ａ＝ｃｓｉｎA　　　　cosA＝ｂ／ｃ　　ｂ＝ｃcosAより 

ここでtanAについて考えてみる。 

これに、さきほど求めたa=csinAとb=ccosAを代入する。 

tanA＝ａ／ｂ＝csinA／ccosA＝ sinA/cosA

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

ｔａｎα＝ｔａｎβ／2＝(1-Ｃｏｓβ)／Ｓｉｎβ＝（１−ｑ／ｐ）／（ｆ／ｐ）＝

（ｐ／ｆ）×（１−ｑ／ｐ）＝（ｐ−ｑ）／ｆ

ｔａｎα＝（ｃｆ＾2＋ｄｅｆ）／（（ｆ＾2−ｄ＾2）−（ｅｆ＾2＋ｃｄｆ）／（ｆ＾2−ｄ＾2））／ｆ＝

ｆ{（（ｃｆ＋ｄｅ）−（ｅｆ＋ｃｄ））／（ｆ＾2−ｄ＾2）}／ｆ＝

（ｃｆ＋ｄｅ）−（ｅｆ＋ｃｄ））／（ｆ＾2−ｄ＾2）＝ｆ（ｃ−ｅ）−ｄ（ｃ−ｅ）／（ｆ＾2−ｄ＾2））＝

ｆ（ｃ−ｅ）−ｄ（ｃ−ｅ）／（ｆ＋ｄ）（ｆ−ｄ）＝（ｃ−ｅ）（ｆ−ｄ）／（ｆ＋ｄ）（ｆ−ｄ）＝

  _______________ ___

（ｃ−ｅ）／（ｆ＋ｄ）＝（√（２ｋL／３）−　２√３Ｈ／３）／（ｆ＋Ｈ）＝

  _______________            

（√（２ｋL／３）−　（２Ｈ／√３））／（ｆ＋Ｈ）・・・・・�@に代入する

ｘ＝２（ＧＬ0Ｔａｎα＋Ｌ0Ｏ0）＝

  ______________

　　 ２（（√（２ｋL／３）−　（２Ｈ／３））／（ｆ＋Ｈ））×L／２＋（√３L／３）＝

（√２ｋL−　２Ｈ）／√３（ｆ＋Ｈ））＋２／√３）L＝

（（√２ｋL−　２Ｈ＋２ｆ＋２Ｈ）／√３（ｆ＋Ｈ））L＝

（（√２ｋL＋２ｆ）／√３（ｆ＋Ｈ））L・・・�C　　ｆ＋Ｈ＝Ｇ　とする

√３ｘ／L＝（√２ｋL＋２ｆ）／Ｇ

　　ｆ＝√(２ｋL−Ｈ＾2)／３＝

ｆ＾2＝(２ｋL−Ｈ＾2)／３　　２ｋL＝３ｆ＾2＋Ｈ＾2　　

  _______________                                    

�C式は　√３ｘ／L＝(√３ｆ＾2＋Ｈ＾2）＋２ｆ)／Ｇ＝

  ________________________________________________________________

((√ｆ＾2−２ｆＨ＋Ｈ＾2＋ｆ＾2−Ｈ＾2＋ｆ＾2＋２ｆＨ＋Ｈ＾2／Ｇ＾2）

＋((ｆ−Ｈ)＋(ｆ＋Ｈ))／Ｇ＝（√（(ｆ−Ｈ)＾2／Ｇ＾2）＋（（ｆ−Ｈ）（ｆ＋Ｈ）／

Ｇ＾2））＋(ｆ＋Ｈ)＾2／Ｇ＾2）＋((ｆ−Ｈ)＋(ｆ＋Ｈ))／Ｇ 　ｆ−Ｈ＝Ｊ　とする

  ________________________________________________

√（Ｊ／Ｇ）＾2＋（Ｊ／Ｇ）（Ｇ／Ｇ）＋(Ｇ／Ｇ)＾2＋Ｊ／Ｇ＋Ｇ／Ｇ Ｊ／Ｇ＝Ｐ　とする

  _______________ 　　　　　　 _____________________

√Ｐ＾2＋Ｐ＋１＋Ｐ＋１√Ｐ＾2＋２Ｐ＋１−Ｐ＋Ｐ＋１ Ｐ＋１＝Ｑ　とする

√Ｑ＾2−Ｐ＋Ｑ ｘ＝（（√Ｑ＾2−Ｐ＋Ｑ））L ／√３