群馬県 北野神社（算額）
｛原文｝
今有如図円之内置大円ニ個挟小円ニ只云側円長短径各若干小円径若干問得大円径術如何
答曰 如左術 術曰短径以除長径乗小円径自之加短径羃以減長径羃余小円径二段以除之得大円径合問
図のように、楕円の内に大円２つとそれに挟まれるように小円２つとがある。ここで楕円の長軸と短軸と小円の直径とを
用いて、大円の直径を求める方法はどのようであるか。
【楕円の方程式の標準形】
■ a>b>0 のとき，方程式
■楕円の定義
Ｆ1Ｐ+Ｆ2Ｐ＝ 一定の長さ(2a) を満たす点Pの軌跡のことを楕円という．そして Ｆ1，Ｆ2 のことを焦点という．
楕円の方程式（標準形）は x^2/a^2+y^2/b^2=1 と表される．
焦点 Ｆ1の座標： (-ｆ，０)=(-√a^2-b^2,0) 焦点 Ｆ2の座標： (ｆ，０)=(√a^2-b^2,0)
長軸の長さ： 2a 短軸の長さ： 2b となる．
■楕円の方程式の導出
点Pの座標を (x,y) とすると Ｆ1Ｐ+Ｆ2Ｐ＝2a の関係より，
(√(x+f )^2+y^2)+(√(x-f )^2+y^2)＝2a (√(x+f )^2+y^2)＝2a-(√(x-f )^2+y^2)
両辺を2乗して，整理すると， (x+f )^2+y^2)＝4a^2-4a√(x-f )^2+y^2+(x-f )^2+y^2
a√(x-f )^2+y^2= a^2-xf a^2{(x-f )^2+y^2}= a^4-2a^2xf +x^2f^2
(a^2-f^2)x^2+a^2y^2= a^2(a^2-f ^2 ) 両辺をa^2(a^2-f ^2 ) で割ると，
x^2/a^2+y^2/(a^2-f ^2 )=1 b^2+f^2=a^2 より x^2/a^2+y^2/b^2=1 となり、 楕円の方程式の標準形が求まる。
【楕円の法線の方程式】
楕円：x^2/a^2+y^2/b^2=1 上の点 A(x0,y0)A(x0,y0) における法線の方程式は，
y0/b^2(x-x0) - ｘ0/ａ^2(ｙ-ｙ0)= 0
【解を求める方法】
楕円を Ｏ（Ｋ＝２ａ，Ｌ＝２ｂ） 大円を Ｐ（ｘ＝２ｐ） 小円を Ｍ（ｍ＝２ｒ） とする。
Ｏを原点、ＯＡをＸ軸、ＯＢをＹ軸とする。 楕円の方程式は x^2/a^2+y^2/b^2=1
楕円上のＣ( S, T)のＹ座標のTは Ｓ^2/a^2+Ｔ^2/b^2=1 Ｓ^2b^2 ＋Ｔ^2= a^2b^2
Ｔ^2＝b^2( a^2－Ｓ^2）／a^2 ・・・・・①
点Ｃを通る法線の方程式は a^2x/ Ｓ －b^2y/Ｔ＝ a^2－b^2 であり、この法線は
内接円 Ｍ の中心(ｄ，Ｏ)を通るから a^2ｄ/ Ｓ ＝ a^2－b^2
∴ ^2ｄ＝Ｓ (a^2－b^2) Ｓ＝a^2ｄ/ (a^2－b^2) ・・・・・②
直角三角形ＣＥＭにおいて ＣＭ^2＝ＣＥ^2＋ＭＥ^2 ｒ^2＝Ｔ^2＋（Ｓ－ｄ）^2
①式を代入して ｒ^2＝b^2( a^2－Ｓ^2）／a^2＋（Ｓ－ｄ）^2
②式を代入して ｒ^2＝(b^2( a^2－(a^2ｄ/ (a^2－b^2)))／a^2＋（a^2ｄ/ (a^2－b^2)－ｄ^2)
a^2(a^2－b^2)^2ｒ^2＝a^2b^2(a^2－b^2)－a^2b^2ｄ^2＋a^2b^2ｄ^2＝
a^2b^2(a^2－b^2)－a^2b^2ｄ^2(a^2－b^2) (a^2－b^2)ｒ^2＝b^2(a^2－b^2)－b^2ｄ^2
b^2ｄ^2＝b^2(a^2－b^2)－ (a^2－b^2)ｒ^2＝(a^2－b^2)(b^2－ｒ^2) ｄ^2＝((a^2－b^2)(b^2－ｒ^2))／b^2
ｄ＝(√((a^2－b^2)(b^2－ｒ^2)))／b＝(√((K^2－L^2)(L^2－M^2)))／2L
直角三角形ＰＯＭにおいて ＰＭ^2＝ＰＯ^2＋ＯＭ^2 （Ｐ ＋ｒ）^2 ＝ Ｐ^2＋ｄ^2
(x^2／2＋M^2／2)＝(x^2／2)＋(K^2－L^2)(L^2－M^2)／4L^2
L^2x^2 ＋ ２L^2Mx ＋ L^2M^2 ＝ L^2x^2 ＋ K^2L^2－K^2M^2 L^4
2Mx＝ K^2－K^2M^2／ L^2－L^2＝ K^2－((K／ L)M^2)－L^2 x ＝ ((K^2－((K／ L)M^2)＋L^2)／ 2M
楕円の長軸を K＝２a、短軸 L＝２b、楕円に２点で内接する円の直径を M ＝２ｒ
楕円の中心と内接円の中心との距離をｄする。
ｄ＝(√((K^2－L^2)(L^2－M^2)))／2L ｄ＝(√((a^2－b^2)(b^2－ｒ^2)))／b
