算木による高次方程式

長さが、４～１０センチ程の細長い棒である。「算盤（さんばん）」と呼ばれる、場所ごとに意味が決まっている、
升目を区切った布の上に並べ、それを動かして計算していた。色は、黒と赤。
赤い算木は正の数を、黒い算木は負の数を表します。
＊赤字を負債と間違えて、赤い算木を負の数としないで下さい＊
数字の０（ゼロ）は、算盤の升目を空白にするか、碁石を置く。
　　                                 
   -１    -２     -３    -４    -５    -６    -７    -８    -９
                                   
        
    １     ２     ３     ４      ５      ６      ７      ８      ９
                                   
                                  

                    三次方程式
　                                              
 X^3+12X^2-2234X+32867=0　　　　・・・を解きます。

★ 「商」の位が、３桁のときの方程式の展開式★
 X^3=(a+b+c)^3　　★aは百の位、bは十の位、cは一の位★

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc
12X^2＝１２(a+b+c)^2・・・１２（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca）
 X^3+12X^2-2234X+32867=0の展開式
 a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc+
  12（a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca）-2234(a+b+c)+32867=0

★ 「商」の位が、２桁のときの方程式の展開式★
X^3=(a+b)^3　　★aは十の位、bは一の位★

(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
12X^2＝１２(a+b)^2・・・１２（a^2+2ab+b^2）
 X^3+12X^2-2234X+32867=0の展開式
 a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+１２（a^2+2ab+b^2）-2234(a+b)+32867=0

  【方程式を解くには、次の用語をおぼえて下さい】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　●　
 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　 一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
                    
      　
   商
              　     
           実
●
                 
         法
                
         廉
              
              隅


　　■ マーカー（目印） ■
　方程式を解く操作は少し複雑なので，今どこの計算をしているかを示すためにマーカーを2 つ使うと便利です。
　「一」に置いてあるマーカーを「位マーカー」，「実」に置いてあるマーカーを「段マーカー」とよびます。
  ■ シフト（ずらすこと） ■
　左右に1 桁ずらすとき，同じ方向に，「方」の段は 1 桁，「廉」の段は 2 桁，「隅」の段は 3 桁ずらします。
このことを「シフト」といいます。
　■ 乗加（掛けて足すこと） ■
　掛け算のときに既に行ったように，「位マーカー」の下の数を一つの段に掛けてその上の段に足すことを「乗加」といいます。
 一番下の段から「段マーカー」が置いてある段まで次々に乗加することを「連続乗加」といいます。
 「連続乗加」するたびに「段マーカー」を一つ下に移します。

「実」の段が 0 になっていれば，見当をつけた数が方程式の正確な答だということになっています。もちろん計算は終了です。
　もし「実」の段が 0 でなければ，次の位の数を求めるステップに移ります。
ここが重要ですが，次の位に移るには算盤上の算木の調整が必要になります。
この調整には「連続乗加」を「段マーカー」が最下段にくるまで必要な回数だけ行います。
この「位」での作業はこれで終了です。
もし「実」の段が 0 でなければ，次の位の数を求めるステップに移ります。
次の位に移るまえに，調整の「連続乗加」を「段マーカー」が最下段にくるまで必要な回数だけ行うことを忘れてはいけません。

必要な「乗加」の回数
　一つの位での作業で「乗加」を行う回数は，とりあえず1 回「連続乗加」するので
　　　1 次方程式のときは　1 回  
　　　2 次方程式のときは　2 回  
　　　3 次方程式のときは　3 回  
　　　4 次方程式のときは　4 回  
「乗加」を行います。「実」の段が 0 でないときは，「連続乗加」が繰り返し必要なので，さらに
　　　1 次方程式のときは　0 回  
　　　2 次方程式のときは　1 回  

　 万 　 千 　 百  　十  　一
　万　 　 千 　 百  　十  　一
　 ①
   商
　 ②
   商
                   実
                   実
                   法
             
   法
           廉
       
  廉
   
  隅
   
  隅

■ 商＝答，実＝定数項，方＝ x の係数，廉＝ x2 の係数，隅＝ x3 の係数... ということです■
　　　※　マーカーは、省略します　・・・　慣れれば、必要無し　※

① 「法」・「廉」・「隅（ぐ）」の算木をシフトして、「商」の位をさぐります。

② 答が十の位から始まると見当がつくので「位マーカー」を「十」に置いてシフトします
　 「法」は、左へ１つシフト。「廉」は、左へ２つシフトします。「隅」は、左へ３つシフトします。
　　百の位置まで、「法」をシフトすると、「隅」の算木が無くなるので、十の位置で計算する。
　　「商」の位が、２桁のときの方程式の展開式より、-２２３４aの　a=３０だと　-６７０２０
  で、３２８６７を、かなり超える為、「商」の十の位を　2　として、「連続乗加」します。
  
  なぜこのように、算木を動かすのか、解を２桁と推測したので、 1/10 倍した解を持つ方程式を考える。 
  X = 10X と　置き換え、解を１桁に直す。
  (10X)^3 + 12(10X)^2 - 2234(10X) + 32867 = 0      
                      
  10000X^3 + 1200X^2 - 22340X + 32867 = 0 ・・・・算盤上の算木と一致する。                            
     

　 万 　 千 　 百  　十  　一
  万　 　 千 　 百  　十  　一
　 ③
   商
　 ④
   商
                   実
                  実
   
            
   法
               
   法
   
   廉
   
  
  廉
   
  隅
   
  隅
  　
③ 「商」の2と「隅」の１０００を掛けて２０００を「廉」に加える。
  「廉」を３２００に置き換える。

④ 「商」の2と「廉」の３２００掛けて６４００を「法」に加える。
　　　-２２３４０+６４００=-15940　★「法」を-15940に置き換える。

　 万 　 千 　 百  　十  　一
　 万
　		 　 千 　 百  　十  　一
　 ⑤
   商
　 ⑥
   商
                       実
                       実
               
   法
               
   法
       
   廉
       
  廉
   
  隅
   
  隅

⑤ 「商」の2と「法」を掛けて・・２×-15940＝－31880 を「実」に加える。
  －31880+32867=987 ★「実」を９８７に置き換える。
　　「実」の段が ９８７ であり０ でないので，２０は答でないということになり，計算を続けます。
　

　　　　　　　　　　　　　　　■組立除法の計算■　　　　　　　　
　 　　１０００
  　　１２００　
  -２２３４０
　　３２８６７
　 　　
  　　２０００　
  ６４００
　-３１８８０
　 　　１０００
  　　３２００　
  -１５９４０
　９８７

⑥ 「段マーカー」が「方」の上であり最下段の「隅」の上ではないので，「連続乗加」をあと2 回行います。
　　そうすると「段マーカー」が最下段の「隅」の上に来ます。それで十の位を終わります。
　 「商」の2と「隅」の１０００を掛けて２０００を「廉」に加える。
  ★「廉」を５２００に置き換える。

　 万 　 千 　 百  　十  　一
　 万
　		 　 千 　 百  　十  　一
　 ⑦
 
   商
　 ⑧
        商
                       実
                       実
               
   法
   
               法
       
   廉
          廉
   
  隅
    　   隅
 
⑦　「商」の2と「廉」の５２００を掛けて１０４００を「法」に加える。
　 -15940+10400=-5540 ★「法」を－５５４０に置き換える。
  「商」の2と「隅」の１０００掛けて２０００を「廉」」に加えて、７２００に置き換える。
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　■組立除法の計算■　　　　　　　　
　 　　１０００
  　　１２００　
  -２２３４０
　　３２８６７
　 　　
  　　２０００　
  ６４００
　-３１８８０
　 　　１０００
  　　３２００　
  -１５９４０
　９８７
　 　　
  　　２０００　
  １０４００
  　　１０００　
  ５２００
　-５５４０
　 　　
  　　２０００　
  　　１０００　
 　　　　　  ７２００

  10000X^3 + 1200X^2 - 22340X + 32867 = 0
  
  10000(X-2)^3 + 7200(X-2)^2 - 5540(X-2) + 987 = 0  


⑧ 「法」「廉」「隅」を一の位にシフトする。十の位は終了です。
　　　一の位を５と予想して計算します。

 なぜこのように、算木をシフトするのか、解の十の位が２と解ったので、一の位を求める為に、
  10 倍した解を持つ方程式を考える。 Y = 10(X-2)と　置き換える。
 
  1000(X-2)^3 + 7200(X-2)^2 - 5540(X-2) + 987 = 0  

  Y^3 + 72Y^2 - 554Y + 987 = 0 ・・・・算盤上の算木と一致する。 

　 万 　 千 　 百  　十  　一
　万　 　 千 　 百  　十  　一
　 ⑨
           商
　 ⑩
         商
                       実
                       実
   
               法
   
              法
           廉
          廉
      隅
      隅

 
⑨ 「商」の5と「隅」の１を掛けて５を「廉」に加える。
  ★「廉」を７７に置き換える。「商」の5と「廉」の７７を掛けて、３８５を「法」に
　　　加えると、－５５４＋３８５＝－１６９になるので、「商」の5と「法」の－１６９を
　　　掛けると、－８４５になる。「実」と違うので、予想の「商」の5は誤りです。
　　　誤りの場合は、算木を戻します。
　　　　　
⑩ －８４５は、「実」と違うので、予想の「商」の5は誤りです。
　　　誤りの場合は、算木を戻します。

　 万 　 千 　 百  　十  　一
  万　 　 千 　 百  　十  　一
　 ⑪
           商
　 ⑫
         商
                       実
                       実
   
               法
   
               法
           廉
          廉
      隅
          隅


⑪ 「商」を３とします。「商」の３と「隅」の１を掛けて３を「廉」に加える。
  ★「廉」を７５に置き換える。「商」の３と「廉」の７５を掛けて、２２５を「法」に
　　　加えると、－５５４＋２２５＝－３２９になる。★「法」を－３２９に置き換える

⑫ 「商」の３と「法」の－３２９を掛けて、－９８７を「実」に加えると、
　　　－９８７＋９８７＝０になります。

　 万 　 千 　 百  　十  　一
　 ⑬
           商
                       実
   
               法
           廉
      隅

⑬　「実」が　０　になり計算終了です。答えは、２３　です。

　　　　　　　　　　　　　　　■組立除法の計算■　　　　　　　　
　 　　１
  　　７２
  -５５４
　　９８７
　 　　
  　　３
  ２２５
　-９８７
　 　　１
  　　７５
  -３２９
　０

　　 　　　　　　         
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
　
  　　　 三次方程式
 
　　x^3 + 2x^2 + 3x - 9 = 0　 ・・・・ を解きます。

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
   ①                 
      　
   商
              　     
           実
                 
         法
                
         廉
              
              隅


① 「実」・「法」・「廉」・「隅（ぐ）」に算木をセットして、「商」の位をさぐります。

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
   ②                  
      　
   商
               　     
           実
                   
         法
                
         廉
              
              隅

  x^3 + 2x^2 + 3x - 9 = 0　
 ② 「商」が、３ だと,「隅」が 3^3　で 27　で、「実」の 9 より、かなり超える為 １ とします。
 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
   ③                  
      　
   商
              　     
           実
                 
         法
                
         廉
              
              隅

 ③ 「商」の一の位の１と「隅」の +１ を掛けた +1 * 1 ＝ +1 を「隅」に置き換える。
　　「商」の一の位の1と「廉」の +２ を掛けた +2 * 1＝+2 と「隅」の 値 を加える。
　 +2 + 1 = +3　★「廉」を +3 に置き換える。
　　「商」の一の位の１と「法」の ＋３ を掛けた +3 * 1＝+3 と「廉」の 値 を加える。
　 +3 + 3 = +6　★「法」を +6 に置き換える。
  「法」の +6 を「実」に加える。
  +6 - 9 = -3 ★「実」を -3 に置き換える。

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
   ④                  
      　
   商
              　     
           実
                   
         法
                
         廉
              
              隅

④ 「商」の一の位の１と「隅」の +１ を掛けた +1 * 1 ＝ +1 を「隅」に置き換える。
　　「商」の一の位の1と「廉」の +３ を掛けた +3 * 1＝+3 と「隅」の 値 を加える。
　 +3 + 1 = +4　★「廉」を +4 に置き換える。
　　「商」の一の位の１と「法」の ＋６ を掛けた +6 * 1＝+6 と「廉」の 値 を加える。
　 +6 + 4 = +10　★「法」を +10 に置き換える。
   
 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑤
                   
      　
   商
              　     
           実
                   
         法
                
         廉
              
              隅

⑤ 「商」の一の位の１と「隅」の +１ を掛けた +1 * 1＝ +1 を「廉」に加える。
　　  
  .　１回目の算木操作が終わりました。 １回目の商を除きます。　　「商」を、０．２ とします。   
　　
　■ 組立除法で計算する ・・・１回目 ■
 x^3 + 2x^2 + 3x - 9 = 0　 X = Y + 1 と置く
 (Y + 1)^3 + 2(Y + 1)^2 + 3(Y+ 1) - 9 = 0　   
 (Y^3 + 2Y^2 + Y^2 + 2Y + 1) + 2(Y^2 + 2Y + 1) + 3(Y+ 1) - 9 = 0
 (Y^3 + 3Y^2 + 3Y + 1) + 2(Y^2 + 2Y + 1) + 3(Y + 1) - 9 = 0
 Y^3 + 3Y^2 + 3Y + 1 + 2Y^2 + 4Y + 2 + 3Y + 3 - 9 = 0

 Y^3 + 5Y^2 + 10Y - 3 = 0 ・・・・算盤上の算木と一致する。 


 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑥
                            　
   商
              　           　　
            実
                    　    
         法
                 　
         廉
              
              隅
 
⑥ 「商」の分の位の０．２と「隅」の +１ を掛けた +1 * 0.2＝ +0.2 を「廉」に加える。
　　「商」の分の位の０．２と「廉」の +5.２ を掛けた +5.2 * 0,2＝+1.04 と「法」に加える。
　 「商」の分の位の０．２と「法」の ＋１１．０４ を掛けた +11.04 * 0,2＝+2.208 を「実」に加える。
  +2.208 - 3 = -0.792 ★「実」を -0.792 に置き換える。  

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑦		                            　
   商
              　           　　
            実
                    　    
         法
                 　
         廉
              
              隅
 
⑦ 「商」の分の位の０．２と「隅」の +１ を掛けた +1 * 0.2＝ +0.2 を「廉」に加える。
　　「商」の分の位の０．２と「廉」の +5.４ を掛けた +5.４ * 0,2＝+1.08 と「法」に加える。
　  
 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑧		                              　
   商
              　           　　
            実
                    　    
         法
                 　
         廉
              
              隅

⑧ 「商」の分の位の０．２と「隅」の +１ を掛けた +1 * 0.2＝ +0.2 を「廉」に加える。
  .
　 ２回目の算木操作が終わりました。 ２回目の商を除きます。　　「商」を、０．０６ とします。    

　■ 組立除法で計算する ・・・2回目 ■
 Y^3 + 5Y^2 + 10Y - 3 = 0 Y = Z + 0.2 と置く
 (Z + 0.2)^3 + 5(Z + 0.2)^2 + 10(Z + 0.2) - 3 = 0　  
 (Z^3 + 0.6Z^2 + 0.12Z + 0.008) + 5(Z^2 + 0.4Z + 0.04) + 10(Z+ 0.2) - 3 = 0
 Z^3 + 0.6Z^2 + 0.12Z + 0.008 + 5Z^2 + 2Z + 0.2 + 10Z + 2 - 3 = 0
 Z^3 + 0.6Z^2 + 5Z^2 + 0.12Z + 2Z + 10Z - 0.792 = 0

 Z^3 + 5.6Z^2 + 12.12Z - 0.792 = 0 ・・・・算盤上の算木と一致する。 

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑨		                     　       　
   商
              　           　               実
                    　                      法
                 　    
         廉
              
              隅

⑨ 「商」の分の位の０．０６と「隅」の +１ を掛けた +1 * 0.0６＝ +0.06 を「廉」に加える。
　　「商」の分の位の０．０６と「廉」の +5.６６ を掛けた +5.66 * 0,0６＝+0.3396 と「法」に加える。
　 「商」の分の位の０．２と「法」の ＋１２．４５９６ を掛けた +12.4596 * 0.06＝+0.747576 と「実」に加える。

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑩		                     　       　
   商
              　           　               実
                    　                      法
                 　    
         廉
              
              隅
 
⑩ 「商」の分の位の０．０６と「隅」の +１ を掛けた +1 * 0.0６＝ +0.06 を「廉」に加える。
　　「商」の分の位の０．０６と「廉」の +5.７２ を掛けた +5.72 * 0,0６＝+0.3432 と「法」に加える。
　  
 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑪		                     　       　
   商
              　           　               実
                    　                      法
                 　    
         廉
              
              隅

⑪ 「商」の分の位の０．０６と「隅」の +１ を掛けた +1 * 0.0６＝ +0.06 を「廉」に加える。
　　
　　３回目の算木操作が終わりました。 　　    
　　１回目の「商」 １ と ２回目の「商」 ０．２ と ３回目の「商」 ０．０６ を合わせて　
　　１．２６　を得る。・・・ここで打ち切ります。　「定商」を　１．２６　とする。

  　■ 組立除法で計算する ・・・３回目 ■
  Z^3 + 5.6Z^2 + 12.12Z - 0.792 = 0 Z = (α + 006) と置く
  (α + 006) ^3 + 5.6 (α + 006) ^2 + 12.12(α + 006) - 0.792 = 0     
  (α^3 + 018α^2 + 0.108α + 0.000216) + 5.6(α^2 + 012α + 0.0036) + 12.12(α + 006) - 0.792 = 0      
  α^3 + 018α^2 + 0.108α + 0.000216 + 5.6α^2 + 0.672α + 0.02016 + 12.12α + 07272 - 0.792 = 0      
  α^3 + 018α^2 + 5.6α^2 + 0.108α + 0.672α + 12.12α + 0.000216+ 0.02016 + 07272 - 0.792 = 0      

  α^3 + 5.78α^2 + 12.8028α - 0.044424 = 0 ・・・・算盤上の算木と一致する。      
  





  　　　 三次方程式
 
　　　
　2x^3 + 4x^2 - 6x - 200.28125 = 0　 ・・・・ を解きます。
　　　　　　
 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
   ①                 
      　
   商
       　          　                   実
                 
         法
                
         廉
              
              隅

① 「実」・「法」・「廉」・「隅（ぐ）」に算木をセットして、「商」の位をさぐります。

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
   ②                  
      　
   商
       　          　                   実
                 
         法
                
         廉
              
              隅
　　2x^3 + 4x^2 - 6x - 200.28125 = 0　 ・・・・ を解きます。
 ② 「商」が、３ だと,「隅」が 2*3^3　で 54　で、「実」の 200.28125 より、かなり少ない為 4 (4x^2の為) とします。

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
   ③                  
      　
   商
       　          　                   実
                 
         法
                
         廉
              
              隅
  2x^3 + 4x^2 - 6x - 200.28125 = 0 　　　 
 ③ 「商」の一の位の4と「隅」の +2 を掛けた +4 * 2 ＝ +8 を「廉」に加える。
　 「商」の一の位の4 と「廉」の +12 を掛けた +4 * 12 ＝+48 を「法」に加える。
　　「商」の一の位の4と「法」の +42 を掛けた +4 * 42＝+168 を「実」に加える。

  .  　　　　　　　　　　　　　■組立除法の計算・・・１回目■　　　　　　　　
　 　　４
　 　　２
  　　　４
  -６
　-２００．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　４８
　 　　１６８
　 　　２
　 　　１２
　 　　４２
　-３２．２８１２５
　　　　　

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
    ④                  
      　
   商
       　          　                   実
                
         法
                
         廉
              
              隅

④ 「商」の一の位の4と「隅」の +2 を掛けた +4 * 2 ＝ +8 を「廉」に加える。
　 「商」の一の位の4 と「廉」の +20 を掛けた +4 * 20 ＝+80 を「法」に加える。
　　
 .  　　　　　　　　　　　　　■組立除法の計算・・・2回目■　　　　　　　　
　 　　４
　 　　２
  　　　４
  -６
　-２００．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　４８
　 　　１６８
　 　　２
　 　　１２
　 　　４２
　-３２．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　８０
　 　　
　 　　２０
　 　　１２２


 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑤
                  
      　
   商
       　          　                   実
                 
         法
                
         廉
              
              隅

⑤ 「商」の一の位の4と「隅」の +2 を掛けた +4 * 2 ＝ +8 を「廉」に加える。

  .　１回目の算木操作が終わりました。 １回目の商を除きます。　　「商」を、０．２ とします。  

　　　　　　　　　　　　　■組立除法の計算・・・3回目■　　　　　　　　

　 　　４
　 　　２
  　　　４
  -６
　-２００．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　４８
　 　　１６８
　 　　２
　 　　１２
　 　　４２
　-３２．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　８０
　 　　
　 　　２０
　 　　１２２
　 　　
　 　　８
　 　　
　 　　
　 　　
　 　　２８
　 　　

 2x^3 + 4x^2 - 6x - 200.28125 = 0　 X = Y + 4 と置く　　　　　　 (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
 2(Y + 4)^3 + 4(Y + 4)^2 - 6(Y + 4) - 200.28125 = 0　
 2(Y^3 + 3Y^2*4 + 3Y*4^2 + 4^3) + 4(Y^2 + 8Y + 16) - 6Y - 24 - 200.28125 = 0 
 2Y^3 + 24Y^2 + 96Y + 128 + 4Y^2 + 32Y + 64 - 6Y - 24 - 200.28125 = 0 
 2Y^3 + 24Y^2 + 4Y^2 + 96Y + 32Y - 6Y + 128 + 64 - 24 - 200.28125 = 0 

 2Y^3 + 28Y^2 + 122Y -32.28125 = 0 ・・・・算盤上の算木と一致する。 
 　　

 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑥
                  
      　
   商
       　          　                   実
                  　  　　
　
         法
                    
         廉
              
              隅
 
⑥ 「商」の分の位の0.2 と「隅」の +2 を掛けた +0.2 * 2＝ +0.4 を「廉」に加える。
　　「商」の分の位の0.2 と「廉」の +28.4 を掛けた +0.2 * 28.4＝+5.68 を「法」に加える。
　 「商」の分の位の0.2 と「法」の +127.68 を掛けた +0.2 * 127.68 ＝+25.536 を「実」に加える。   
       

　 　　　　　　　　　　　　■組立除法の計算・・・4回目■　　　　　　　　

　 　　４
　 　　２
  　　　４
  -６
　-２００．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　４８
　 　　１６８
　 　　２
　 　　１２
　 　　４２
　-３２．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　８０
　 　　
　 　　２０
　 　　１２２
　 　　
　 　　８
　 　　
　 　　０．２
　 　　２
　 　　２８
　 　　１２２
　 　　０．４
　  ５．６８
 　 　　 ２５．５３６
　　　　　　　 　　 ２
　 　　２８．４
　  １２７．６８
 　 -６．７４５２５
　2*4.2^3 + 4*4.2^2 - 6*4.2 - 200.28125 -6.74525
 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑦		                  
      　
   商
       　          　                   実
                  　  　　
　
         法
                    
         廉
              
              隅
 
⑦ 「商」の分の位の０．２と「隅」の +2 を掛けた +2 * 0.2＝ +0.4 を「廉」に加える。
  「商」の分の位の０．２と「廉」の +28.8 を掛けた +28.8 * 0,2＝+5.76 と「法」に加える。   


　 　　　　　■組立除法の計算・・・5回目■　　　　　　　　
　 　　４
　 　　２
  　　　４
  -６
　-２００．２８１２５

　 　　
　 　　８
　 　　４８
　 　　１６８
　 　　２
　 　　１２
　 　　４２
　-３２．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　８０
　 　　
　 　　２０
　 　　１２２
　 　　
　 　　８
　 　　
　 　　０．２
　 　　２
　 　　２８
　 　　１２２
　 　　０．４
　  ５．６８
 　 　　 ２５．５３６
　　　　　　　 　　 ２
　 　　２８．４
　  １２７．６８
 　 -６．７４５２５
　　　　　　　 　　 ２
　 　　０．４
　  ５．７６
 　       
　　　　　　　 　　 ２
　 　　２８．８
　  １３３．４４
 　      


　  
 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑧		                              　
   商
       　          　                   実
                  　  　　
　
         法
                    
         廉
              
              隅

⑧ 「商」の分の位の０．２と「隅」の +2 を掛けた +2 * 0.2＝ +0.4 を「廉」に加える。
  .
　 ２回目の算木操作が終わりました。 ２回目の商を除きます。　　「商」を、０．０５ とします。    


  　　　　　■組立除法の計算・・・６回目■　　　　　　　　
　 　　　　　
　 　　４
　 　　２
  　　　４
  -６
　-２００．２８１２５

　 　　
　 　　８
　 　　４８
　 　　１６８
　 　　２
　 　　１２
　 　　４２
　-３２．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　８０
　 　　
　 　　２０
　 　　１２２
　 　　
　 　　８
　 　　
　 　　０．２
　 　　２
　 　　２８
　 　　１２２
　 　　０．４
　  ５．６８
 　 　　 ２５．５３６
　　　　　　　 　　 ２
　 　　２８．４
　  １２７．６８
 　 -６．７４５２５
　　　　　　　 　　 
　 　　０．４
　  ５．７６
 　       
　　　　　　　 　　 ２
　 　　２８．８
　  １３３．４４
 　      
　　　　　　　 　　 
　 　　０．４
　　　　　　　 　　 ２
　 　　２９．２
　

 
 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑨		                     　       　
   商
       　          　                    実
                  　  　    
         法
                    
         廉
              
              隅

⑨ 「商」の分の位の０．０５ と「隅」の +2 を掛けた +2 * 0.05＝ +0.1 を「廉」に加える。
　　「商」の分の位の０．０５ と「廉」の +29.3 を掛けた +29.3 * 0,05＝+1.465 と「法」に加える。
　 「商」の分の位の０．０５ と「法」の ＋134.905 を掛けた +134.905 * 0.05＝+6.74525 を「実」に加える。


  　　　　　■組立除法の計算・・・７回目■　　　　　　　　
　 　　　　　
　 　　４
　 　　２
  　　　４
  -６
　-２００．２８１２５

　 　　
　 　　８
　 　　４８
　 　　１６８
　 　　２
　 　　１２
　 　　４２
　-３２．２８１２５
　 　　
　 　　８
　 　　８０
　 　　
　 　　２０
　 　　１２２
　 　　
　 　　８
　 　　
　 　　０．２
　 　　２
　 　　２８
　 　　１２２
　 　　０．４
　  ５．６８
 　 　　 ２５．５３６
　　　　　　　 　　 ２
　 　　２８．４
　  １２７．６８
 　 -６．７４５２５
　　　　　　　 　　 
　 　　０．４
　  ５．７６
 　       
　　　　　　　 　　 ２
　 　　２８．８
　  １３３．４４
 　      
　　　　　　　 　　 
　 　　０．４
　　　　　　　 　　 ２
　 　　２９．２
　


 　十　
　万		  　万   千  　百  　十  　一  　分  　厘  　毛  　糸   忽  　微
  　　　　
　 ⑩		                     　       　
   商
       　          　                    実
                  　  　    
         法
                    
         廉
              
              隅

⑩ 「実」が、０　になり計算終了です。　答えは、 ４．２５ です。





　

４次方程式