放射線の強さベクレル（Ｂｑ）から原子の質量を求めてみよう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ある放射性元素の原子量をＭ、放出する放射線の強さＡ（Ｂｑ）、半減期をＴ（秒）とするとその原子の質量はｗ（ｇ）は

　　　　ｗ＝Ａ×Ｔ×Ｍ／（0.693×6.02×10²³）

で求めることができる。

例えば、セシウム137（Ｂｑ）ならＭ＝137，Ａ＝500、半減期30年を秒に直して代入すれば計算できる。

【基礎知識]

（１）ベクレル（Ｂｑ）・・・放射線の強さの単位　放射性元素が1秒間に崩壊する回数。放射性元　素は崩壊するごとに放射線を出すので、1秒間　あたりの放射線の放出回数と考えてもよい。

〈補足〉１（Ｂｑ）＝１ＤＰＳ（disintegration persecond）

（２）半減期・・・放射性元素が元の数の半数になるまでの時間。放射性元素は崩壊するたびに別の原子になる。

（３）放射性元素の放出する放射線の強さ（Ｂｑ）は放射性元素の原子の数に比例する。

【求め方】

　放射性元素の放出する放射線の強さＡ（Ｂｑ）は放射性元素の原子の数Ｎに比例ので、比例定数をλとすると

　　　　　　　Ａ＝λＮ　・・・�@　　λ：崩壊定数

ということはλ：崩壊定数がわかればその時に存在する原子の数が求められる。

半減期Ｔと崩壊定数λの関係式は

　　　　　　　λ＝ｌｎ２／Ｔ　・・・�A　　ｌｎは自然対数

�@    式に�A式を代入してλを消去

　　　　　Ｎ＝Ａ×Ｔ／ｌｎ２　・・・�B

１mol=6.02×10²³原子量Ｍ　　質量ｗ　とすると

　　　　　　Ｎ＝（ｗ／Ｍ）×　6.02×10²³だから�B式を代入して

　　　　　　Ａ×Ｔ／ｌｎ２＝（ｗ／Ｍ）×　6.02×10²³

　　　∴　　ｗ＝Ａ×Ｔ×Ｍ／（ｌｎ２×6.02×10²³）

ｌｎ２＝0.693

 

【例題】

新聞報道によると福島原発事故による大気への放射能の放出量はヨウ素131に換算して19万テラＢｑである。ヨウ素131の半減期は8日として19万テラＢｑのヨウ素131の質量を求めよ。

 

　　19万テラＢｑ＝190000×10¹²＝1.9×10¹⁷

8日＝8×24×3600

　ｗ＝1.9×10¹⁷×8×24×3600×131／（0．693×6.02×10²³）　で求めることができる。

＝41.3 (g)

 

 

【理系数学�V選択生徒への応用編】

 

半減期と崩壊定数の関係は？

　　　λ＝ｌｎ２／Ｔ　・・・�A　の求め方

　放射性元素の放出する放射線の強さＡ（Ｂｑ）は放射性元素の原子の数に比例する。
従って

　　　Ａ＝λＮ（ｔ）　・・・�@

　また放射線の強さＡ（Ｂｑ）は時間ｄｔ時間当たりの崩壊する数ｄＮだから

マイナスは減少していることを表す。

　　　Ａ＝−ｄＮ（ｔ）／ｄｔ　・・・�C

�@    式と　�C式より

λＮ（ｔ）　＝　−ｄＮ／ｄｔ　

−λｄｔ＝（１／Ｎ（ｔ））ｄＮ

積分すると

−λｔ＋Ｃ＝ｌｎＮ（ｔ）　　Ｃは積分定数

ｅ^{−λｔ＋Ｃ}＝Ｎ（ｔ）

Ｎ（ｔ）＝ｅ^−λｔｅ^Ｃ

ｔ＝０のときＮ（ｔ）＝Ｎ_０　とすると

　Ｎ_０＝ｅ^Ｃ

　Ｎ（ｔ）＝Ｎ_０ｅ^−λｔ

半減期ｔ＝ＴでＮ（ｔ）が半数になるから

　（１／２）Ｎ_０＝Ｎ_０ｅ^−λＴ

　（１／２）＝ｅ^−λＴ

　ｌｎ（１／２）＝ｌｎｅ^−λＴ

　　−ｌｎ／２＝−λＴ

　　　λ＝ｌｎ２／Ｔ