集合間の全単射

『無限個の部屋をもつホテルがありました。ある日、ホテルは満室でしたが、無限個の人数の団体客が来て、宿泊を依頼しました。驚いたことに、その団体客は、無事に宿泊できました。満室なのに、何故、宿泊できたのでしょうか？』

これは『ヒルベルトのホテル』として有名な問題ですが、これを少し発展させた問題とその解答を考えてみましたので、以下、ご紹介いたします。

【問題】
球体Ｄの内側にある可付番無限個の点{Ｐ_１, Ｐ_２,・・・,Ｐ_ｎ,・・・}を除いた球体Ｄ内の全ての点の集合を集合Ａとし、球体Ｄに含まれる全ての点の集合を集合Ｂとします。このとき、集合Ａから集合Ｂへの全単射写像は存在するか？　もし、存在するなら、そのような写像の一例を示して下さい。

【解答】

問題文の内容を上図で表します。集合Ａは、黒色の点Ｐ_１, Ｐ_２,・・・,Ｐ_ｎ,・・・（ただし、ｎ＝１，２，３，・・・）を除いた球体Ｄ内の全ての点の集合とします。一方、集合Ｂは、球体Ｄ内の全ての点の集合とします。ここで、下図に示した様に、集合Ａの内部に存在する赤色の点Ｑ_１, Ｑ_２,・・・,Ｑ_ｎ,・・・（ただし、ｎ＝１，２，３，・・・）に着目することにします。また、⇔ は全単射写像を表すことにします。そして、

　　・Ａ内のＱ_２ｎ ⇔ Ｂ内のＱ_ｎ
　　・Ａ内のＱ_２ｎ－１ ⇔ Ｂ内のＰ_ｎ
　　・Ａ内のＱ_ｎを除く各点 ⇔ Ｂ内のＰ_ｎとＱ_ｎを除く各点
　　　（ただし、この ⇔ は、点の座標（位置）を球体Ｄの中心を原点とする xyz座標系で表したとき、同一座標となる点どうしを対応させる写像）

ｘと言う写像（ただし、ｎ＝１，２，３，・・・）を考えることにします。

すると、この写像は、明らかに集合Ａから集合Ｂへの全単射写像となります。すなわち、本問題の解答は、「題意の全単射写像は存在し、その様な写像の一例は上記の通り」となります。

以上のことからも、連続体の濃度は、可付番無限個の濃度より遥かに大きい（無限に大きい）ことが理解できます。

つぎに、実数と分数の個数を比べてみましょう。

まず、０≦ｘ＜１の範囲に存在する任意の実数ｘを二進数で表すと、ｘ＝0.x₁x₂-----x_n-----（ただし、 n＝1,2,3,・・・に対して x_n＝0 or 1 ）となります。一方、０と１の間にある可付番無限個の分数でｙ_m＝1／2^m （ただし、m＝1,2,3,・・・）と言う形の分数を考え、それを二進数で表すと、ｙ₁＝0.100--- , ｙ₂＝0.0100--- , ｙ₃＝0.00100--- , ・・・, ｙ_m＝0.00---0100--- , ・・・（すなわち、ｙ_m は少数第m位の桁のみ1で他の桁は全て0 となる様な数）となります。すると、明らかに、任意の分数ｙ_m に対してｙ_m＝ｘを満たす実数ｘは必ず存在しますが、任意の実数ｘに対してｘ＝ｙ_m を満たす様な分数ｙ_m は必ずしも存在しません（より正確に言うと、極めて稀にしか存在しません）。すなわち、実数の集合 {ｘ} と可付番無限個の分数の集合 {ｙ_m} の間に、全単射写像は存在しないことがわかります。

このことからも、連続体の濃度は、可付番無限個の濃度より無限に大きいことがわかります。

参考資料　：　Wikipedia　『ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス』、『全単射』