４次元空間でねじれの位置にある平面と直線
x, y, z, w 直交座標系で表される４次元ユークリッド空間の内部に、平面Ｓと直線Ｔがあり、
ＳとＴがねじれの位置の関係にあるとする。このとき、平面Ｓと直線Ｔの距離は、どのように
すれば求まるだろうか？ 以下、その方法を示すことにする。
まず、平面Ｓは、ベクトル v1＝（v1x, v1y, v1z, v1w）、
v2＝（v2x, v2y, v2z, v2w）の張る平面であり、
点Ｐ（a, b, c, d）を含む平面であるとする。
また、直線Ｔは、ベクトル v3＝（v3x, v3y, v3z, v3w）
の方向に延びる直線であり、点Ｑ（e, f, g, h）を含む直線であるとする。
平面Ｓと直線Ｔがねじれの位置にあることから、ベクトル v1 、
v2 、v3 は１次独立であるから、
グラム・シュミットの直交化法により、互いに直交する３つの単位ベクトルの組 e1 、
e2 、e3 を、下記のようにして得ることができる。
なお、以下の各数式において、「 v・e 」は
２つのベクトル v 、e の内積を、「 |v| 」は
ベクトル v の絶対値（大きさ）をそれぞれ表すものとする。
e1＝v1／|v1|
--- (1)
v2'＝v2−(v2
・e1) e1 --- (2) ⇒
e2＝v2'／|v2'|
--- (3)
v3'＝v3−(v3
・e1) e1−(v3
・e2) e2 --- (4) ⇒
e3＝v3'／|v3'|
--- (5)
つぎに、 e1 、e2 、
e3 とは１次独立になりそうなベクトル
v4＝（v4x, v4y, v4z, v4w） を選び、再び、
グラム・シュミットの直交化法により、 e1 、e2 、
e3 のいずれとも直交する単位ベクトル e4 を、
下記のようにして求める。
v4'＝v4−(v4
・e1) e1−(v4
・e2) e2−(v4
・e3) e3 --- (6) ⇒
e4＝v4'／|v4'|
--- (7)
この e4 は、平面Ｓおよび直線Ｔと直交する向きに延びる単位ベクトルである。
すなわち、単位ベクトル e4 の方向はＳからＴへの最短経路の方向に等しい。
以上の内容を図示すると、図１のようになる。
図１では、便宜上、e1 方向の軸と e2 方向の軸を１つに
まとめ、これと、e3 方向の軸、e4 方向の軸によって、
４次元ユークリッド空間を表している。よって、平面Ｓは、e1 ,
e2 軸となり、直線Ｔは、e1 ,
e2 , e3 軸が張る３次元空間（点Ｐ、Ｅ、Ａ、Ｇ、Ｆ
を含む３次元空間）と平行に延びる直線（点Ｃ、Ｂ、Ｑ、Ｄを通る直線）となる。（注１）
（注１）
ここで、図１について補足的説明をすると、図１に描かれている平面Ｓを表す直線（＝e1 ,
e2 軸 ）と直線ＥＦは、ともに、e1 ,
e2 , e3 軸が張る３次元空間（ただし、
図１では平面として表されている）の中にある平面と直線を表している。よって、図１における平面Ｓを表す直線（＝e1 ,
e2 軸 ）は、平面Ｓのうち、直線ＥＦの平面Ｓへの正射影を表す直線だけを抜き出して
描いていることになる。すなわち、平面Ｓの中で直線ＥＦに最も接近する直線部分だけが、図１に表されている（そして、点Ａは直線ＥＦと平面Ｓの交点である）。
そもそも、ＳとＴの距離などを求める上で必要なＳの部分は、Ｓの中で直線ＥＦに最も接近する直線部分だけで良い。よって、ＳとＴの距離などを求めるためには、
図１のような表現は問題ない、と考えられる。
したがって、図１より、平面Ｓから直線Ｔまでの最短経路は
線分ＡＢとなり、この長さがＳとＴの距離となる。ただし、図１より、ＡＢ＝ＧＱ であるから、ＳとＴの距離は線分ＧＱの長さと等しいことがわかる。
ここで、Ｐを始点とし、Ｑを終点とするベクトルを p とすると、図１からも明らかな様に、
p＝（e-a, f-b, g-c, h-d）となる。したがって、平面Ｓと直線Ｔの距離を
Ｋとすると、Ｋは p の e4 方向への正射影の大きさ（＝ＧＱ）となる。
すなわち、Ｋ＝|p・e4| --- (8)
（ p と e4 の内積の絶対値）である。
なお、p は、明らかに e1 、e2 、
e3 とは１次独立であるから、v4＝
p とすることができる。よって、(6)〜(8) の代わりに、
p'＝p−(p
・e1) e1−(p
・e2) e2−(p
・e3) e3 --- (9) ⇒
Ｋ＝|p'| --- (10) ,
e4＝p'／|p'|
--- (11)
を用いることができる。すなわち、(10) より、e4 を求める前に、ＳとＴの距離Ｋを求めることができる。
よって、 p の各成分がシンプルな場合には、(6)〜(8) ではなく (9)〜(10) を使って距離Ｋを求めた方が良さそうである。
前述したように、平面Ｓから直線Ｔまでの最短経路は、Ｓ上の点ＡからＴ上の点Ｂまでの線分である。それでは、ＡとＢの座標は、どのようにすれば
求まるだろうか？ 以下、その方法を示すことにする。
まず、点Ｐを始点とし、点Ｇを終点とするベクトルを q とすると、(9) より、
q＝p−p'
＝(p・e1) e1
＋(p・e2) e2
＋(p・e3) e3 --- (12)
である。また、直線ＥＦ上の任意の点をＨとし、Ｇを始点、Ｈを終点とするベクトルを r とし、u を
任意の実数とすると、直線ＥＦは直線Ｔと平行であるから、
r＝u v3 --- (13)
と表すことができる。よって、Ｐを始点とし、Ｈを終点とするベクトルは q＋r であり、
(12) 、(13) より、
q＋r
＝(p・e1) e1
＋(p・e2) e2
＋(p・e3) e3
＋u v3 --- (14)
となる。さらに、Ｐを始点とし、Ａを終点とするベクトルを s とすると、図１からわかる様に、
s は、q＋r の一つであって、
e3 と直交するから、
s・e3
＝(q＋r)・e3＝0 --- (15)
が成り立つ。よって、(14) 、(15) より、
s・e3
＝(q＋r)・e3
＝{ (p・e1) e1
＋(p・e2) e2
＋(p・e3) e3
＋u v3 }・e3＝0
⇒ p・e3
＋u v3・e3＝0
（ ∵ e1・e3
＝e2・e3＝0 ,
e3・e3＝1 ）
⇒ u＝−p・e3／
( v3・e3 )
＝−p・e3／|v3'| --- (16)
（ ∵ (4) , (5) より、v3・e3
＝v3'・e3
＝v3'・v3'／|v3'|
＝|v3'| ）
となる。したがって、(14) 、(16) より、
s＝(p・e1 )
e1
＋( p・e2 ) e2
＋( p・e3 ) e3
−( p・e3／|v3'| )
v3 --- (17)
となる。すなわち、(17) より、s の各成分は求められる。よって、Ｐ（a, b, c, d）と (17) より、点Ａの
座標は求められる。また、図１からわかる様に、点Ａの座標と p' を表す (9) より、点Ｂの座標は求められる。
ところで、ＳとＴの距離を求めるだけであれば、クロス積（ベクトル積）を用いる方法がある。一般に、４次元空間においては、３つのベクトル
a＝（ax, ay, az, aw）、
b＝（bx, by, bz, bw）、
c＝（cx, cy, cz, cw）の
いずれとも直交するベクトルであるクロス積 [a,b,c] は、
となる。（注２）
よって、３つのベクトル v1＝（v1x, v1y, v1z, v1w）、
v2＝（v2x, v2y, v2z, v2w）、
v3＝（v3x, v3y, v3z, v3w）の全てと直交する
クロス積 [v1,v2,v3] は、
(18) より、
となり、前述の v4' を
[v1,v2,v3]
に置き換えることが出来るから、(19)、(7)、(8) より、ＳとＴの距離 K は、次式により求められる。
Ｋ＝|p・[v1,v2,v3]|
／|[v1,v2,v3]| --- (20)
（注２）
ベクトル a とクロス積 [a,b,c] の内積は、
(18) より、
となるが、上式の右辺は、次の４次行列式の余因子展開に他ならないから、
( ∵ 第１行＝第２行より、行列式＝0 )
となる。同様にして、b・[a,b,c]=0 、
c・[a,b,c]=0 も成り立つ。
よって、(18) で定義されたクロス積 [a,b,c] は、
ベクトル a 、b 、c のいずれとも直交していることがわかる。
以上の内容の具体的イメージを掴むため、簡単な例題と解答を作成したので、以下に示す。
【 例題１ 】
４次元ユークリッド空間の内部に、点 P (0 ,0 ,0 ,0) を含み、ベクトル v1＝（1, 0, 0, 0）、
v2＝（0, 1, 0, 0）の張る平面Ｓと、点 Q (0, 0, 0, 1) を含み、
ベクトル v3＝（1, 1, 1, -1）の方向に延びる直線Ｔが存在するとき、ＳとＴの間の距離 K を
求めよ。また、ＳからＴまでの最短経路の両端点をＳ上の点Ａ、Ｔ上の点Ｂとしたとき、Ａ、Ｂの座標を求めよ。
【 解答 】
前述の (1)〜(17) より、
e1＝（1, 0, 0, 0）, e2＝（0, 1, 0, 0）,
v3'＝（1, 1, 1, -1）−（1, 0, 0, 0）−（0, 1, 0, 0）＝（0, 0, 1, -1）
⇒ e3＝（0, 0, 1/√2, -1/√2）,
v4＝p＝（0, 0, 0, 1）
⇒ v4'＝p'＝（0, 0, 0, 1）−(-1/√2)（0, 0, 1/√2, -1/√2）
＝（0, 0, 1/2, 1/2）
⇒ Ｋ＝|p'|＝√{(1/2)2＋(1/2)2}＝1/√2 ,
e4＝p'／|p'|＝（0, 0, 1/√2, 1/√2）
⇒ s＝（0, 0, 0, 0）＋（0, 0, 0, 0）−(1/√2)（0, 0, 1/√2, -1/√2）−(-1/√2)/√2（1, 1, 1, -1）
＝（1/2, 1/2, 0, 0）
⇒ Ｐ（0, 0, 0, 0）＋s＝Ａ（0＋1/2, 0＋1/2, 0＋0, 0＋0）＝Ａ（1/2, 1/2, 0, 0）
⇒ Ａ（1/2, 1/2, 0, 0）＋p'＝Ｂ（1/2＋0, 1/2＋0, 0＋1/2, 0＋1/2）＝Ｂ（1/2, 1/2, 1/2, 1/2）
となる。なお、K の別解として、前述の (19)〜(20) より、
となる。
（答） Ｋ＝1/√2 , Ａ（1/2, 1/2, 0, 0）, Ｂ（1/2, 1/2, 1/2, 1/2）
参考までに、上記の内容を図示すると、図２の様になる。
以上、４次元ユークリッド空間内での、ねじれの位置にある平面と直線の距離などを表す各数式を求めて来た。よって、容易にわかる様に、上記の各数式において、
次元を一つ下げることで、３次元ユークリッド空間内での、ねじれの位置にある２直線の距離などを表す各数式が導かれ、その結果は以下の様になる。
まず、x, y, z 直交座標系で表される３次元ユークリッド空間の内部に、図３のように、２つの直線Ｓ、Ｔがあり、ＳとＴがねじれの位置の関係にあるとすると、
ＳからＴまでの最短経路は線分ＡＢとなり、この長さがＳとＴの距離となる。すなわち、直線Ｓは、ベクトル
v1＝（v1x, v1y, v1z） の方向に延び、点Ｐ（a, b, c）を
含む直線であり、直線Ｔは、ベクトル v2＝（v2x, v2y, v2z）
の方向に延び、点Ｑ（e, f, g）を含む直線であるとすると、４次元の場合と同様、グラム・シュミットの直交化法により、
e1＝v1／|v1|
--- (1)
v2'＝v2−(v2
・e1) e1 --- (2) ⇒
e2＝v2'／|v2'|
--- (3)
v3'＝v3−(v3
・e1) e1−(v3
・e2) e2 --- (4) ⇒
e3＝v3'／|v3'|
--- (5)
となり（ベクトル v3＝（v3x, v3y, v3z）は、
e1 、e2 とは１次独立な任意のベクトル）、
e3 は ＳおよびＴと直交し、ＳからＴへの最短経路の方向に延びる単位ベクトルである。
よって、Ｐを始点、Ｑを終点とするベクトルを p とすると、p＝（e-a, f-b, g-c）となり、ＳとＴの距離を
Ｋとすると、Ｋは p の e3 方向への正射影の大きさ、すなわち、
Ｋ＝|p・e3| --- (8)'
（ p と e3 の内積の絶対値）となる。
さらに、p は、e1 、e2
とは１次独立なので、v3＝p とすることができ、(4)、(5)、(8)' の代わりに、
p'＝p−(p
・e1) e1−(p
・e2) e2 --- (9)' ⇒
Ｋ＝|p'| --- (10) ,
e3＝p'／|p'|
--- (11)'
を使用できる。また、Ｐを始点、Ｇを終点とするベクトルを q とすると、(9)' より、
q＝p−p'
＝(p・e1) e1
＋(p・e2) e2 --- (12)'
であり、Ｇを始点、直線ＥＦ上の任意の点Ｈを終点とするベクトルを r とすると、
r＝u v3 --- (13)'（ u は任意の実数）であり、Ｐを始点、Ｈを終点とするベクトル
q＋r は、(12)' 、(13)' より、
q＋r
＝(p・e1) e1
＋(p・e2) e2
＋u v2 --- (14)'
となる。さらに、Ｐを始点、Ａを終点とするベクトルを s とすると、
s と e2 は直交するから
s・e2
＝(q＋r)・e2＝0 --- (15)'
となり、(14)' 、(15)' より、
s・e2
＝(q＋r)・e2
＝{ (p・e1) e1
＋(p・e2) e2
＋u v2 }・e2＝0
⇒ p・e2
＋u v2・e2＝0
（ ∵ e1・e2＝0 ,
e2・e2＝1 ）
⇒ u＝−p・e2／
( v2・e2 )
＝−p・e2／|v2'| --- (16)'
（ ∵ (2) , (3) より、v2・e2
＝v2'・e2
＝v2'・v2'／|v2'|
＝|v2'| ）
となる。よって、(14)' 、(16)' より、
s＝(p・e1 )
e1
＋( p・e2 ) e2
−( p・e2／|v2'| )
v2 --- (17)'
となる。すなわち、(17)' より、s の各成分は求められ、P（a, b, c）と (17)' より、点Ａの座標は求められる。また、点Ａの座標と
p' を表す (9)' より、点Ｂの座標は求められる。
また、クロス積（ベクトル積）を用いる場合、(19) の３次元版が
となり、v3' を v1×v2
に置き換えることが出来るから、(19)' 、(5) 、(8)' より、K は、次式により求められる。
Ｋ＝|p・(v1×v2)|／
|v1×v2| --- (20)'
最後に、例題１と同様に、簡単な例題と解答を作成したので、以下に示す。
【 例題２ 】
３次元ユークリッド空間の内部に、点 P (0 ,0 ,0) を含み、ベクトル v1＝（1, 0, 0）の方向に延びる直線Ｓと、
点 Q (0, 0, 1) を含み、ベクトル v2＝（1, 1, -1）の方向に延びる直線Ｔが存在するとき、ＳとＴの間の距離 K を
求めよ。また、ＳからＴまでの最短経路の両端点をＳ上の点Ａ、Ｔ上の点Ｂとしたとき、Ａ、Ｂの座標を求めよ。
【 解答 】
前述の (1)〜(17)' より、
e1＝（1, 0, 0）,
v2'＝（1, 1, -1）−1（1, 0, 0）＝（0, 1, -1）
⇒ e2＝（0, 1/√2, -1/√2）,
v3＝p＝（0, 0, 1）
⇒ v3'＝p'＝（0, 0, 1）−(-1/√2)（0, 1/√2, -1/√2）＝（0, 1/2, 1/2）
⇒ Ｋ＝|p'|＝√{(1/2)2＋(1/2)2}＝1/√2 ,
e3＝p'／|p'|＝（0, 1/√2, 1/√2）
⇒ s＝（0, 0, 0）−(1/√2)（0, 1/√2, -1/√2）−(-1/√2)/√2（1, 1, -1）＝（1/2, 0, 0）
⇒ Ｐ（0, 0, 0）＋s＝Ａ（0＋1/2, 0＋0, 0＋0）＝Ａ（1/2, 0, 0）
⇒ Ａ（1/2, 0, 0）＋p'＝Ｂ（1/2＋0, 0＋1/2, 0＋1/2）＝Ｂ（1/2, 1/2, 1/2）
となる。なお、K の別解として、前述の (19)'〜(20)' より、
⇒ v1×v2＝（0, 1, 1）
⇒ Ｋ＝|1・1|／√(12＋12)＝1/√2
となる。
（答） Ｋ＝1/√2 , Ａ（1/2, 0, 0）, Ｂ（1/2, 1/2, 1/2）
参考までに、上記の内容を図示すると、図４の様になる。
参考資料：
・Wikipedia 『グラム・シュミットの正規直交化法』、『クロス積』
・下記URL
https://risalc.info/src/distance-between-two-lines.html（ 直線と直線の距離を与える公式と最近点 - 理数アラカルト - ）
