『統計物理学』2002年問題（後期木１）2003/1/23 実施

1.温度，圧力がそれぞれ(T₁,P₁)，(T₂,P₂)の同じ種類の理想気体を壁で隔てておき，壁にごく微小な穴をあけたとして，以下の問いに答えよ。ただし，小穴の面積をA，分子の質量をmとせよ。T₁，T₂はそれぞれ常に一定に保たれているとする。

(1)穴の両側からの分子流が釣り合って正味の分子流を生じないための条件を求めよ。
　平均自由行路より十分小さい穴の場合、穴の部分に「衝突」した分子が全て穴を通り抜けると考えてよい。したがって、壁の両側での壁への衝突分子数が等しければ両側からの分子の流れがつりあう。衝突数 ν の式（参考資料）に分子数密度 n=N/V=P/kT と速さの平均値の表式（参考資料）を入れれば、ν が圧力 P と温度 T で表される。

(2)この状態でのエネルギー流はどうなるか，定性的に論じよ。（「エネルギーもつり合っている」「温度の低い方から高い方へ向かって流れる」など，その根拠を述べよ。）
　正確には分子衝突数と同様にしてエネルギー流の平均値を計算しなければならないが、１分子当たりのエネルギー平均値は温度の高い方が大きいから、分子流がつり合っている場合でもエネルギーは温度の高い方から低い方へ向かって流れると考えてよい。

2.質量m，振動数ν（角振動数ω＝２πν）の１次元調和振動子について，以下の問いに答えよ。

(1)古典的極限（高温）では，１振動子当たりの比熱はどれだけか？
(2)量子力学的に分配関数を計算し，温度Tにおける１振動子のエネルギー平均値を求めよ。
(3)(2)の結果にもとづき，低温，高温での比熱の振舞いを論じ，全温度域での概形を描け。

(1)「位置エネルギーも運動エネルギーもともに２次式で表されるから、エネルギー等分配則によりエネルギーは 2×(kT/2)=kT、したがって比熱は k。」でよい。
(2)分配関数Z₁=��(n=0 to ∞) exp[-β(n+1/2)hν]=exp(-βhν/2) ��(n=0 to ∞) [exp(-βhν)]ⁿ=exp(-βhν/2)/[1-exp(-βhν)]= exp(βhν/2)/[exp(βhν)-1]，＜E＞=-∂logZ₁/∂β。あとは講義ノート参照。

（参考資料）衝突数、速さの平均値、ボイルの法則、など。省略