コンピュータの内部では１と０の2進数で計算が行われています。

2進数が用いられるのは、計算の信頼性が高く、しかもハードウェアがコンパクトになるためです。

10進数でも、この2進数でも計算結果に変わりはありません。

この章では、この2進数の加減乗除や、補数を用いた減算について学習します。

2.1　2進数の加減乗除

2.2　補数について

2.3　補数による負数の表し方

2.4　補数を用いる減算

2.5　オーバーフロー（桁あふれ）

2.6　演習問題

下の図を見てください。

コンピュータを用いて数値計算をする場合、BASICやＣ等の プログラミング言語を用いて、計算式のような命令コードを 記述します。

これが、いわゆるソースコードです。このソースコードの中では、 人間が理解しやすい10進数が用いられます。

　一方、コンピュータ内部では10進数ではなく、これに相当する 2進数に変換されて計算が行われます。

そして2進数の結果は、再び10進数に変換されて、表示（印刷）されます。

それでは、10進数を2進数に変換するのは何でしょうか？（図の�@）

　→　それはコンパイラやインタプリタです。

では、2進数を10進数に変換しているのは、誰でしょうか？（図の�B）

　→　print文が実行しています。

計算の基本は加減乗除の４則演算です。

以下、２進数を用いた計算例を示します。

規則は若干変わるものの、基本的な考え方は10進数の 場合と同じであることに注意して下さい。

基本になる足し算、すなわち加算です。

２進数の加算の規則は以下のようになります。

　　０＋０＝　０

　　０＋１＝　１

　　１＋０＝　１

　　１＋１＝１０

下の例を見てください。左側が10進数、右側が2進数です。

2進数でも、下位のビットから上の規則に従って計算を進めてゆきます。

結果の １１１１０１１₍₂₎ は10進数の １２３ で、当然のことながら 同じ結果（和）が得られます。

［例題］

　10進数　　　　　　2進数

　　１０２　　　　１１００１１０

＋　 ２１　　　＋　　１０１０１

　　１２３　　　　１１１１０１１

引き算、すなわち減算です。

2進数の減算の規則は以下のようになります。

　　０−０＝　０

　１０−１＝　１

　　１−０＝　１

　　１−１＝　０

下の例題で、左側が10進数、右側が2進数による計算です。

2進数でも、下位のビットから上の規則に従って計算を進めてゆきます。

０から１を引くときは、上の桁から借りるのは10進数の場合と同様です。

結果の １０１０００１₍₂₎ は10進数の ８１ で、 同じ結果（差）になります。

［例題］

　10進数　　　　　　2進数

　　１０２　　　　１１００１１０

−　 ２１　　　−　　１０１０１

　　　８１　　　　１０１０００１

掛け算、すなわち乗算です

2進数の乗算の規則は以下のようになります。

　０×０＝　０

　０×１＝　０

　１×０＝　０

　１×１＝　１

下の例を見てください。左側が10進数、右側が2進数です。

2進数でも、下位のビットから上の規則に従って計算を進めてゆきます。

結果の １１０１００１₍₂₎ は10進数の ８１ で、 同じ結果（積）が得られます。

［例題］

　10進数　　　　　　2進数

　　２１　　　　　　　１０１０１

×　 ５　　 　　　×　　１０１

　１０５　　　　　１１０１００１

最後に割り算、すなわち除算です。

2進数でも、下位のビットから計算を進めてゆきます。

結果の １１０１₍₂₎ は10進数の １３ で、 同じ結果（商）が得られます。

また、余りの １０₍₂₎ は10進数の ２ で、 同じ値になっています。

ここでは、補数を用いた演算について学びます。

前節では、加算と減算はそれぞれ別の規則に従って計算が行われました。

しかし、10進数の場合、ある正の数を引くという操作は、負の数を足すという操作と同じです。

2進数でも正と負の数を定義することにより、加算と減算を意識しないで、

すべて加算するという操作に統一できれば、ハードウェア等も簡略化できます。

補数とはこれを可能にするものです。

２の補数（２'s Complement） の定義は、以下の通りです。

［定義］

A＋A"＝　２ⁿ　のとき

A ；　A" に対する２の補数

A"；　A　に対する２の補数

という。A（A"）に正数、A"（A）に負数を対応させる。

１の補数（１'s Complement） の定義は、以下の通りです。

［定義］

A＋A'＝　２ⁿ−１　のとき

A ；　A' に対する１の補数

A'；　A　に対する１の補数

という。A（A'）に正数、A'（A）に負数を対応させる。

下の表を見てください。これは４ビットにおける負数を

　　�@ 符号と絶対値

　　�A １の補数

　　�B ２の補数

について表した例です。

０以上の場合、どの表現でも同じですが、負の場合は異なってきます。

[１の補数] では、例えば−３は１１００ですが、 [２の補数] では１１０１となります。

[１の補数] で３と−３を比べてみてください。０と１が反転していることがわかります。

さらに、 [１の補数] １１００を正の２進数として、これに１を加算した１１０１が [２の補数] になっています。

これより、正の数から [１の補数] と [２の補数] を求める簡単な方法がわかります。

次の節ではその方法を説明します。

表　　負数の表現法（４ビット）

10進数	SD＋絶対値	１の補数	２の補数
７ ６ ５ ４ ３ ２ １ ０ −１ −２ −３ −４ −５ −６ −７ −８	０１１１ ０１１０ ０１０１ ０１００ ００１１ ００１０ ０００１ ００００ １００１ １０１０ １０１１ １１００ １１０１ １１１０ １１１１ なし	０１１１ ０１１０ ０１０１ ０１００ ００１１ ００１０ ０００１ ００００ １１１０ １１０１ １１００ １０１１ １０１０ １００１ １０００ なし	０１１１ ０１１０ ０１０１ ０１００ ００１１ ００１０ ０００１ ００００ １１１１ １１１０ １１０１ １１００ １０１１ １０１０ １００１ １０００

ここでは、補数を用いた負の数を表し方について解説します。

ある正数 Ａ について、−Ａ（マイナスＡ）に相当する１の補数を求める手順は、以下のようになります。

［手順］

　　（１） 与えられた正の２進数に ０ （SD；正）を追加する。

　　（２） （１）で求めたビット列の ０と１を反転 する。

［例１］　 n＝5　の場合（5 bit表現）

　　　　　　　　　　　　 　　　反転

　　＋９₍₁₀₎＝　０１００１₍₂₎ 　→　 １０１１０₍₂₎ 　＝　−9₍₁₀₎

　　　　　　　 　↑

　　　　　　　　追加（SD；正）

［例２］　 n＝8　の場合（8 bit表現）

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　反転

　　＋９₍₁₀₎＝　００００１００１₍₂₎ 　→　 １１１１０１１０₍₂₎ 　＝　−9₍₁₀₎

　　　　　　　 　↑

　　　　　　　　追加（SD；正）

ある正数 Ａ について、−Ａ（マイナスＡ）に相当する２の補数を求める手順は、以下のようになります。

［手順］

　　（１） 正の２進数について、 １に対する補数 を求める。

　　（２） （１）で求めた結果に１を加える。

［例１］　 n＝5　の場合（5 bit表現）

　　　　　　　　　　　　 　　　反転　　　　　　１を加算

　　＋９₍₁₀₎＝　０１００１₍₂₎ 　→　 １０１１０₍₂₎ 　→　１０１１１₍₂₎ 　＝　−9₍₁₀₎

　　　　　　　 　↑　　　　　　　　　（１の補数）　　　　（２の補数）

　　　　　　　　追加（SD；正）

［例２］　 n＝8　の場合（8 bit表現）

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　反転　　　　　　　　　　１を加算

　　＋９₍₁₀₎＝　００００１００１₍₂₎ 　→　 １１１１０１１０₍₂₎　→　１１１１０１１１₍₂₎ 　＝　−9₍₁₀₎

　　　　　　　 　↑　　　　　　　　　　　　　（１の補数）　　　　　　（２の補数）

　　　　　　　　追加（SD；正）

前節では、負の数を補数により表す手法について学びました。

ここでは、その補数を加算することにより、実質的に減算を実現する手法について解説します。

ｎビットの正数 Ａ 、Ｂ について、Ａ−Ｂ を２の補数を用いて求めるには、以下のようにします。

［手順］

　　（１） Ａ，Ｂの上位に０（ＳＤ：正）を追加し、改めてＡ，Ｂとする。

　　（２） Ｂ の２に対する補数 Ｂ” を求める。

　　（３） Ａ＋Ｂ” （＝Ｃ）を計算する。

　　（４） Ｃ−２ⁿ⁺¹ が求める答となる。（桁上げを無視すればよい）

[注意］

　　　手順(3)の桁上げを無視すれば、その結果が２の補数になっていることに注目してください。

　　　一般に、コンピュータの処理では、表示より演算やデータの保存の方が大きなウエイトを占めると考えられます。

　　　したがって、表示のため演算結果をあえて10進数に戻す必要がなければ、事実上手順の(4)は不要ということになります。

　　　このことは、２の補数を用いる場合の大きな利点になっています。

ｎビットの正数 Ａ 、Ｂ について、Ａ−Ｂ を1の補数を用いて求めるには、以下のようにします。

［手順］

　　　（１） Ａ，Ｂの上位に０（ＳＤ：正）を追加し、改めてＡ，Ｂとする。

　　　（２） Ｂ の1に対する補数 Ｂ' を求める。

　　　（３） Ａ＋Ｂ' （＝Ｃ）を計算する。

　　　（４） (3)で桁上りがあるとき、Ｃ−２ⁿ⁺¹＋１が求める答となる。

　　　　　 (3)で桁上りががないとき、Cが答。　　（ただし、いずれも１の補数表現）

前節で示したように、ｎビットの正数 Ａ 、Ｂ について、Ａ−ＢあるいはＢ−Ａを求める場合、

符号（SD）を含め (n+1)ビットあれば正しい結果が得られます。

ところが、Ａ＋Ｂあるいは−Ａ−Ｂ を同様の方法で求めると、オーバーフローが発生し、誤った結果になることがあります。

［例題１］ 　Ａ＋Ｂ の場合

　　　　　　Ａ＝１０１１₍₂₎＝１１₍₁₀₎，　Ｂ＝０１１０₍₂₎＝６₍₁₀₎

　　　　　　　　 ０１０１１

　　　　　　　＋００１１０

　　　　　　 　　１０００１

　　　　　 　　　↑

　　　　　　　SD = 1 （負数とみなされる）　→　誤り

　　　オーバーフローを防ぐため、SDを2ビット付加する。

　　　　　　　 ００１０１１

　　　　　　＋０００１１０

　　　　　　 　０１０００１

　　　　 　　　↑

　　　 　　　SD = 0　 （＋17_(10） ）　→　正解

［例題２］ 　−Ａ−Ｂ の場合

　　　　　　Ａ＝１０１１₍₂₎＝１１₍₁₀₎，　Ｂ＝０１１０₍₂₎＝６₍₁₀₎

　　　　　　Ａ”＝１０１０１（２の補数），　Ｂ”＝１１０１０（２の補数）

　　　　　　　　 １０１０１

　　　　　　　＋１１０１０

　　　　　 　　１０１１１１

　　　　　　−１０００００

　　　　　 　　　０１１１１

　　　　 　　　　↑

　　　　　　　SD = 0 （正数とみなされる）　→　誤り

　　　オーバーフローを防ぐため、SDを2ビット付加する。

　　　　　　　 １１０１０１

　　　　　　＋１１１０１０

　　　　　 　１１０１１１１

　　　　　−１００００００

　　　　　　 　１０１１１１

　　　　 　　　↑

　　　 　　　SD = 1　 （−17_(10） ）　→　正解

本章では、2進数の加減乗除と補数による減算について学習しました。

これらの内容を十分理解するためには、問題を解くのが効果的です。

次の演習問題（全10問）に挑戦し、理解を深めてください。

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