三角関数の直交性

三角関数の直交性について、次の図を用いて考えてみましょう。

　

図の左上は、次数 n の cos と sin の波形を示しています。

　

また左下は、次数 m の cos と sin の波形です。

　

これら２つの関数の積は2×2の 4通りあり、それらの波形を右側に示しています。

中央に次数 n, m の値が表示されています。

ボタンの＋と−をクリックすることにより、任意の値にセットすることができます。

なお、デフォルト値はそれぞれ n = 2 と m = 3 になっています。

　

右の波形の平均値（0 〜 T₀　における積分値をT₀で割ったもの）を 緑色の線 で示しています。

ほとんどの場合、この値は 0 になっています。

　

n, m の値を変化させて、平均値が 0 以外の値になる組み合せを求めてみましょう。

　

[ヒント] 例えば、n を1つ増やし n = m = 3 として下さい。

　

結果は、 n = m = 0 のとき1、 n ＝ m≠ 0のとき1/2　、それ以外すなわち n ≠ m のとき 0 になります。

　

このような性質が成立する関数を直交関数と言い、その代表的なものがこの三角関数です。

この性質は極めて有用で、ある関数をいくつかの成分に分解して、その重ね合せで表現することが

できます。三角関数を用いるとき、フーリエ解析と呼ばれます。

　

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