フーリエ級数の収束性

ここでは、フーリエ級数における収束性について考えてみましょう。

　

「様々な周期関数が、cos と sin の重ね合せで表すことができるのか？」、疑問に感じられる人も

おられるでしょう。

　

フランスの数学者フーリエ（1768-1830）は、1807年熱伝導に関する研究からこのアイデアを発表

したのですが、当時の数学者からも、この考えに対する否定的な意見が多く示されました。

1世紀後、数学者のディリクレにより、ある条件のもとでこの理論が正しいことが証明されます。

　　　

ここでは、方形波や三角波、全波整流等、代表的な関数について具体的に確認してみましょう。

　

左の関数のボタンを１つ選び、マウスでクリックして下さい。

指定した関数が、低い次数から段階的に生成されてゆく過程がアニメーションで表示されます。

　

上の波形は次数が n のcos の基本波（振幅=１）、中央の波形はsin の基本波です。

次のステップで、それらに係数  a_n , b_n をかけた波形が表示されます。

最後にこれらを加算した波形が、下側に表示されます。

　

cosは周期関数の偶対称成分、sinは奇対称成分に対応することに注意して下さい。

　

このように、適切な係数 a_n , b_n を選び、これに対応する正弦波を低い次数から段階的に加えてゆくと、

目的の関数に収束することがわかります。

　

関数の形状によって、極めて速く収束するものと、収束が極端に遅いものがあります。

「その違いは何に起因するのか？」　考えてみて下さい。

　

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