複素フーリエ級数展開

フーリエ級数展開で扱う信号や係数はすべて実数でした。

三角関数の cos と sin も同じ実数です。

　

しかし cos²θ+sin²θ = 1という関係式から明らかなように、三角関数自体は

平面における単位円上の点を2つの方向から観測したものと解釈できます。

　

より直感的に説明するならば、 cos や sinで表される単振動は、1つ次元の高いところから観測すると

より単純な回転運動に置きかえられるということです。

ここで複素数（複素平面）が登場します。

　

一方、フーリエ級数展開において、係数 a₀ の扱いが他の係数と異なる点が気になった方も

おられるのではないでしょうか？

複素数を導入すれば、もっと単純かつエレガントな式に書き換えられるのです。

　

具体的には、オイラーの公式 e^jθ＝ cosθ + j sinθを用いて、

　

　　cos θ= (e^jθ+e^-jθ)/2

　　sin θ= (e^jθ-e^-jθ)/2j

　

を導き、フーリエ級数展開の式に代入します。

次に、フーリエ係数 a_n、 b_n に対して、複素フーリエ係数 c_n を導入します。

その結果を上の図に示します。

　

係数の値を操作して、複素フーリエ級数展開のイメージをつかんで下さい。

　

操作法はこれまでのものと同じです。

なお、スペクトル c_n とc_-n が複素共役の関係になっていることに注意して下さい。

---

　⇒　教材コンテンツ集に戻る