離散信号と離散スペクトル

ここで、離散フーリエ変換の信号とスペクトルの関係について、N=8の場合を例に整理してみましょう。

　

x₀, x₁,…, x₇ の離散周期信号のスペクトルは離散周期スペクトルとなり、これを X₀, X₁,…, X₇ とします。

これらの周期はいずれも 8 です。

　

下の図は、離散信号に対応するスペクトルを表示するツールです。

　

x₀, x₁,…, x₇ の信号成分には、それぞれ実部と虚部があり、図の下のバーを操作することにより、

自由に設定することができます。

バーの上下にある (+) と (-) の部分をクリックして、様々な信号に対するスペクトルがどのように形に

なるのか、調べて下さい。

例えば、入力信号がすべて実数のとき、スペクトルには対称性が現れます。

　

それでは、次に左上の「直流」のボタンを押し、入力信号を一定値に設定して下さい。

そのスペクトルをみると、X₀ のみある値を持ち、それ以外はすべて 0 となることがわかります。

　

次に、「1回転(+)」　のボタンを何回かクリックして下さい。

このとき、信号は1周期の間に1回転するように変化します。

回転の向きは、原点から時間(＋)の方向に見て時計方向を＋（プラス）と定義しています。

この信号の実部、あるいは虚部だけ観測すると、それぞれ正弦波に見えることになります。

このときのスペクトルは、X₁ のみある値を持ち、それ以外はすべて０になります。

すなわち X₁は、複素数の信号に含まれる１回転する成分の大きさと位相を表しています。

「2回転(+)」等のボタンも操作してみて下さい。

これより、X₂, X₃, X₄, X₅, X₆, X₇は時計方向にそれぞれ２〜７回転している信号の成分に対応している

ことがわかります。

　

それでは、質問です。反時計方向に1回転している信号成分はどのように表されるのでしょうか。

答は、「時計方向に7回転している成分に等しい」です。

これらは、前章で述べたサンプリング定理や、Wの周期性から明らかです。

　

次の質問です。信号の虚数部を全て０にすると、そのスペクトルはどのようになるでしょうか？

また、x₀ について偶対称となる実信号の場合はどのようになるでしょうか。答は考えてください。

⇒　教材コンテンツ集に戻る