フーリエ変換とその性質

井澤　裕司　　

1. はじめに

本章では、フーリエ変換について学習します。

フーリエ級数展開のある極限をとると、フーリエ変換が得られます。

このフーリエ変換は、変換と逆変換が共に積分の形になっており、ある意味では分かり難いと感じられる

方もいるのではないでしょうか？

このような場合は、フーリエ級数展開をもう一度よく復習し、その極限を考えてみて下さい。

あるいは、この後解説する離散フーリエ変換を先に学習するのも、ひとつの方法です。

これらの方が、変換と逆変換の関係が直感的に理解しやすいためです。

それでは、フーリエ変換の変換・逆変換の関係を導きましょう。

はじめに、複素フーリエ級数展開について簡単に復習します。

この複素フーリエ級数展開では、周期 T₀ をもつ連続信号を対象にします。

この複素スペクトル c_n は離散スペクトルとなり、その間隔は 1/T₀ です。

例えば、周期 T₀ を2倍にすると、その離散スペクトルの間隔も1/2になります。

ここで、周期を無限に大きくすると、そのスペクトルの間隔は 0 となり、 離散スペクトルは連続スペクトルに

変化します。

以下、具体的に説明しましょう。

2.　　フーリエ変換とは

複素係数 c_n と周期 T₀ の積を　 X(jnω₀) とおきます。

c_n を次元のない量とすると、 X(jnω₀) は時間の次元を持つことに注意して下さい。

この式を用いて、前章で述べた複素フーリエ級数展開の式を書き改めます。

ここで、 T₀ →∞ すなわち ω₀ →0 　の極限で、離散的な角周波数 nω₀ (n = -∞,‥,-1,0,1,2,‥,∞)

は、連続的な角周波数 ω に置き換えられるものとします。

このとき、次の変換式が成立します。

　　　　　 　　 （フーリエ変換）

次に、逆変換について求めます。

Δω＝ω₀ とおくと、フーリエ級数展開の式は、

となり、 ω₀ →0 　の極限では、

に置き換えられるので、最終的に、

　　 （フーリエ逆変換）

が得られます。

［フーリエ変換と逆変換］　（まとめ）

ｘ（ｔ）がディリクレの条件を満たし、絶対可積分のとき、次の関係が成立します。

　　　　　　　フーリエ変換

　

　　　　フーリエ逆変換

あるいは、周波数 f = ω/2πを用いて次のように表現することもあります。

　　　　　　フーリエ変換

　　　　　　フーリエ逆変換

［確かめてみよう］　－フーリエ級数展開からフーリエ変換へ－

複素フーリエ級数展開の周期 T₀ を無限大にすると、離散スペクトル ｃ_ｎ の間隔は無限小となり、

その極限で連続スペクトルになります。

この関係を下の図に示します。

このブラウザはJava Appletに対応していないので、静止画を表示しています。

この画面上に表示できる解像度の限界がありますので、 スペクトルの間隔が一旦止まっているように

見えますが、実際には滑らかに変化しています。

繰り返しますが、フーリエ変換では、 連続非周期信号が同じ連続非周期スペクトルに変換されることに

注意して下さい。

4.　フーリエ変換対について

次に、フーリエ変換と逆変換の双対性について補足しましょう。

２つ目の定義では、x(t)と X(f) を入れ替えると、自然対数 ｅ のマイナスの有無の違いはあるものの、

後は同じ形をしています。このマイナスは、回転の方向が違うことに相当し、 共役複素数で表されます。

このとき、信号とスペクトルは双対の関係にあると言います。

以下、具体的な例を用いて説明しましょう。

（例１）δ（デルタ）関数の場合

信号がδ関数 [δ(t)]の場合、 そのスペクトルは周波数にかかわらず１という値になります。

このδ関数は、ディラックにより定義される理想的なインパルス関数であり、 その面積は１です。

一方、信号が時間にかかわらず１のとき、そのスペクトルは図のようにδ関数 [δ(f)] になります。

すなわち、時間 ｔに関する信号と、周波数 f に関するスペクトルを入れ替えた関係が成立しています。

（例２）方形波の場合

下に方形波の例を示します。

信号が図のような方形波のとき、そのスペクトルは図のようなsinc関数になります。

この関数は以下にしめすように sin(x)/x で表される関数であり、x = 0 で 1 という値をもちます。

一方、信号が次のようなsinc関数のとき、そのスペクトルは方形波になります。

5.　フーリエ変換の性質

フーリエ変換の性質について、整理します。

(1) 線形性

　任意の実数 a, b について、以下の関係が成立します。

　この線形性は、フーリエ解析の最も重要な性質です。

　しっかり、頭に入れておきましょう。

(2) 実信号のフーリエ変換

　■ x(t) が実数のとき

これは、前章の複素フーリエ級数展開の項をみれば、理解できると思います。

　■ x(t) が実数かつ偶対称のとき、X(f) も実数かつ偶対称となる。

x(t) が偶対称のとき、スペクトルの虚数部は0 になるので明らかです。

(3) Parseval の公式

　　　

　ここで、x(t) = y(t) のとき

　　　

［証明］

左辺

=　右辺

6.　まとめ

フーリエ変換とその性質について、学習しました。

この性質の大部分は、後に説明する離散フーリエ変換（DFT)でも成立します。

これらを比較し、その違いに注目して整理してみると、 スペクトル解析の体系的な理解に役立つと思います。

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