ラプラス変換

井澤　裕司　

４章では， フーリエ変換 について学習しました．

本章では，これを過渡現象の解析にも利用できるように拡張した ラプラス変換 について解説します．

この ラプラス変換 により，線形システムの応答や微分方程式の解を比較的簡単な 四則演算 により求めることができます．

ラプラス変換 では，積分記号で表される操作が、 変換 と 逆変換 で基本的に異なっており，

フーリエ変換 に比べ物理的なイメージを掴むことが難しいと言われていますが，

ここではその本質的な意味が直観的に把握できるようイメージ化を試みます．

本節では ラプラス変換 と 逆ラプラス変換 の定義を示し，いくつかの 例題 を通して

その 物理的なイメージ を探ります．

2.1 定義（狭義）

時間 t ≧ 0 で定義された関数 f (t) について，

以下に示す積分 F (s) を f (t) の ラプラス変換 といいます．

ここで， t は実数， s は複素数であり， e^{-s t} を 収束因子 ，

f (t) を 原関数 ， F (s) を 像関数 と呼びます．

なお，原関数 f (t) と，像関数 F (s) の関係を，以下のように表現することがあります．

一般に F (s) は s の値により 収束 したり 発散 したりしますが，

例えば s の実部 Re (s) = σ が σ > σ_c の条件で 収束するとき，この σ_c の上限を 収束座標 ，

σ > σ_c を満たす s の領域を 収束域 と呼びます．

なお，後ほど詳しく説明しますが，狭義の F (s) は 変数 の ｊω を σ の方向に拡張した一種の スペクトル であり，

その 次元 は [f (t)の次元×時間] となります．

一方， 逆ラプラス変換 の定義は次のようになります．

ここで， s = σ + j ω であり， t < 0 で f (t) = 0 とします．

また， 逆ラプラス変換 を以下のように表すことがあります．

なお， s = σ + j ω として， s平面 における 収束因子 e^{-s t} を図示すると，

その半径が 指数関数 で発散したり，減衰する コイルばね のような形状になります．

単位ステップ関数 u (t) は， t < 0 のとき u (t) = 0 ， t > 0 のとき u (t) = 1 となる関数です．

この 関数 を ラプラス変換 すると，以下のようになります．

ここで，複素変数 s の実部が正，すなわち Re(s) = σ > 0 のとき，上式の第2項が 0 となり，

以下の式が導かれます．

すなわち， u (t) の ラプラス変換 は， σ > 0 の収束域で F (s) = 1/s という 複素関数 になります．

次に α を正の実数として， 指数関数 f (t) = e^-αt の ラプラス変換 を求めてみましょう．

ここで，複素変数 s の実部 Re (s) を σ として σ > -α のとき，上式の第2項が 0 となり，

以下の式が導かれます．

すなわち， 指数関数 の ラプラス変換 は， σ > -α の収束域で F (s) = 1 / (s+α) になります．

ここで α = 0 とおくと， 例題1 で示した 単位ステップ関数 の結果に一致します．

次に ω を正の実数として， 三角関数 f (t) = cos (ωt) の ラプラス変換 を求めます．

後ほど詳しく説明しますが， 指数関数 と 三角関数 を結び付ける オイラーの公式 を以下に示します．

ここで ω に -ω を代入すると，次式が得られます．

上の2 式を加算し，2 で割ると，

が得られます．

これより， ラプラス変換 の 線形則 を適用して，

ここで，複素変数 s の実部 Re (s) を σ として σ > 0 のとき，上式の第3項，第4項が 0 となり，

以下の式が導かれます．

すなわち， 三角関数 cos (ωt) の ラプラス変換 は， σ > 0 の収束域で F (s) = s / (s²+ω² ) になります．

ここで， ω = 0 とおくと F (s) = 1 / s となり， 例題1 の結果に一致します．

例題3 と同様に ω を正の実数として， 三角関数 f (t) = sin (ωt) の ラプラス変換 を求めます．

オイラーの公式 から得られる2式に減算を適用し， 2 j で割ると，

が得られます．これより， cos の場合と同様にして，

ここで，複素変数 s の実部 Re (s) を σ として σ > 0 のとき，上式の第3項，第4項が 0 となり，

以下の式が導かれます．

すなわち， 三角関数 sin (ωt) の ラプラス変換 は， σ > 0 の収束域で F (s) = ω / (s²+ω² ) になります．

次に α と ω を正の実数として， 関数 f (t) = e^-αt cos (ωt) の ラプラス変換 を求めます．

オイラーの公式 と 指数関数 の性質から，以下の式が得られます．

これより， ラプラス変換 の 線形則 を適用して，

ここで，複素変数 s の実部 Re (s) = σ が σ > -α のとき，上式の第3項，第4項が 0 となり，

以下の式が導かれます．

すなわち， 減衰振動関数 e^-αt cos (ωt) の ラプラス変換 は， σ > -α の収束域で

F (s) = (s + α) / { (s + α)²+ω² } になります．

ここで， α = 0 とおくと右辺は s / ( s²+ω² ) となり， 例題3 の結果に一致します．

また， ω = 0 とおくと 1 / ( s + α ) となり， 例題2 と同じ結果が得られます．

同様に α と ω を正の実数として， 減衰振動関数 f (t) = e^-αt sin (ωt) の ラプラス変換 を求めます．

cos の場合と同様に，

ここで，複素変数 s の実部 Re (s) を σ として σ > -α のとき，上式の第3項，第4項が 0 となり，

以下の式が導かれます．

すなわち， 減衰振動関数 e^-αt sin (ωt) の ラプラス変換 は， σ > -α の収束域で

F (s) = ω / { (s + α)²+ω² } になります．

ここで， α = 0 とおくと右辺は ω / ( s²+ω² ) となり， 例題4 の結果に一致します．

信号処理 や 微分方程式 の分野で，基本となる最も重要な関数は 指数関数 です．

例えば， フーリエ変換 の 定義 には， e^-jωt の 指数関数 が組み込まれています．

一方， ラプラス変換 の 定義 には， 収束因子 として e^-st が含まれており，

例題 で示したように， 原関数 f (t) に 指数関数 を用いたとき，

その 像関数 F (s) は s を変数とする簡単な 有理式 の形になります．

一般に， 指数関数 は， e^x のように表されますが，厳密には e の x 乗 ではありません．

なぜなら， 変数 x が 有理数 のとき， 整数 m ， n を用いて，

のように表せますが， x が 無理数 の場合や， e^-jωt のような 複素数 のときは対応できません．

実は， 指数関数 の 定義 は以下のようになっており， x が ∞ の場合を除き 絶対収束 するので

項別 に 微分 することができます．

ここで 自然対数 の 底 e の 値 2.718… は， x に 1 を代入することにより，次のように定まります．

また，2つの 指数関数 の 積 について

が成立し， e^x と e^y の積の 変数 が 和 x + y の形で表されます．

さらに， e^x を x で 微分 すると， 項別微分 可能なので，

となり，右辺の項が右側に 1つシフト しますが， 項数 が ∞ のため実質的に e^x に等しくなります．

このように， 指数関数 は 微分 してもその形が変わらない ただ一つ の関数 と言えます．

なお， 変数 x を α 倍して

としたとき，

のようになり， 微分 すると関数の値が α 倍 される性質があります．

このような性質を利用して， 微分方程式 の 解 を 代数方程式 により解く方法が用いられています．

例題3,4 で示したように， 三角関数 の cos や sin は， 複素共役 な 2 つの 指数関数 の

加減算 で表すことができ， 指数関数 に似た性質を示します．

それらを結び付けるのが，以下に示す オイラーの公式 であり， 最も美しい公式 の一つとされています．

この式は， 指数関数 の 変数 x に jθ を代入することにより，以下のように導かれます．

なお， cos や sin については， θ = 0 において ∞回微分可能 であり，

θ = 0 を 中心 とする 以下の テイラー展開（マクローリン展開） の 式 を用いています．

ここで， 実数 α ， β について，

が成立し，これを 加法定理 と呼びます．

ここでは， オイラーの公式 の証明で用いた テイラー展開（マクローリン展開） について補足します．

x = 0 において f (x) が ∞回微分可能 と仮定したとき，

以下に示す x の べき級数 を， f (x) の マクローリン展開 と呼びます．

この べき級数 が収束し，もとの f (x) に一致するとき， マクローリン展開可能 といいます．

以下，この式が導出される過程を示しましょう．

はじめに， 係数 を c_n （n = 0, 1, 2, …） として， f (x) が以下の べき級数 で表されるものとします．

ここで， 係数 の c₀ については 上式で x = 0 とおくことにより， c₀ = f (0) のように求められます．

次に， 係数 の c₁ を決定するため 上式を x で 微分 します．

さらに，上位の 係数 c_n を求めるため，以下のように 微分操作 を繰り返します．

微分 したそれぞれの式で x = 0 とおくことにより， 係数 の c_n が以下のように定まり，

これらを上の f (x) に代入すると， マクローリン展開の式 が得られます．

なお， f (x) が 三角関数 の cos や sin のとき，この級数は 収束 し，

以下に示すように， ∞回微分可能 という条件を満たします．

ここで， x = 0 とおくと，

のようになり， 微分値 が 1, 0, -1, 0 のパターンを繰り返すので，最終的に以下の式が導かれます．

なお，これらの 無限級数 は 絶対収束 の条件を満たしています．

ここでは， x = 0 を中心に展開する マクローリン展開 について説明しましたが，

f (x) が x = a において ∞回微分可能 のとき， x = a を中心とする次の べき級数 を

テイラー展開 と言います．

この級数が 収束 し，元の f (x) に一致するとき， テイラー展開可能 と言います．

デルタ関数 δ(t) は， 幅 0 ， 面積 1 の インパルス状 の波形をもつ 仮想的 な関数であり，

線形システム の 応答 等で重要な役割を果たします．

ここでは，その ラプラス変換 £[δ(t)] を求めてみましょう．

始めに， 微少時間 を Δt として，下の図に示すような 幅 Δt ， 高さ 1/Δt の 矩形状 の信号を考えます．

なおこの矩形の 面積 は， Δt の値にかかわりなく 1 になっています．

次にこの ラプラス変換 を計算し， Δt→0 における極限を， デルタ関数 の ラプラス変換 とみなします．

ここで，先ほど述べた 指数関数 の定義より，

が成立するので，

となり， £[δ(t)] = 1 が成立することが分かります．

2.2 複素関数 F(s) の表現

次に， 複素変数 s に対応する 複素関数 1 / s の 表現方法 について整理しましょう．

一般的な 実関数 ，例えば f (x) = 1 / x は，2次元平面上の 双曲線 で表すことができます．

一方， F (s) = 1 / s のような複素関数では，変数と関数にそれぞれ 実部 と 虚部 があり，

グラフ表示するためには， 4次元空間 が必要となります．

このため，ここでは s に対する F (s) を 実部 と 虚部 に分け，これらを ２つの 3次元グラフ

で表すことにします．

なお，複素変数 s = σ + jω を水平面で表し，これに対する F (s) の 実部 と 虚部 を 高さ で示しています．

詳しくは後ほど示しますが，これらは原関数 u (t) を正の実数 σ の値に応じて時間方向に減衰させ，

これを フーリエ変換 により スペクトル に変換したものを σ の方向に連続的に拡張したものであり，

その次元は スペクトル の [f (t)の次元×時間] になります．

この図では， F (s) の収束域が σ > 0 となるため， s平面 の 右半分 のみ表示し，

左半分 は発散するため，省略しています．

ここで， u (t) は 実数 であるため， F (s) の 実部 は ω = 0 の実軸について 偶対称 となる 偶関数，

虚部 は 奇対称 となる 奇関数 になります．

すなわち，

より，

が成立します．ここで， ⁻ （ バー ）は， 虚部 の符号 ± を反転させた 複素共役 を表しています．

一般に， ラプラス変換 は フーリエ変換 に比べ，物理的なイメージが掴み難いと言われますが，

ここでは，その イメージ化 を試みます．

原関数 f (t) として 単位ステップ関数 u (t) を選び，その 像関数 F (s) の 収束域 における

イメージを下の図に示します．

ここでは， 複素変数 s = σ + jω の実部 σ を正の一定値とみなして 積分操作 を行います．

はじめに，指数部を e^{-s t} = e^-σt ・ e^{-jω t} のように変形し， 原関数 f (t) と e^{-σ t} の積 g (t,σ) を求めます．

次に e^{-jω t} を乗じ， 0 から ∞ まで時間 t で積分します．

これらの操作を式で表すと，以下のようになります．

なお， t < 0 で u (t) = 0 となるため， 積分範囲 を 0〜∞ から -∞〜∞ に変更しています．

以上の操作は，一定の σ における g (t,σ) の フーリエ変換 に他なりません．

このように σ > 0 を固定したとき， ラプラス変換 F(σ + jω) は， 原関数 f (t) と e^{-σ t} の積を，

t = 0〜∞ の範囲で フーリエ変換 した結果に等価です．

なお， 積分範囲 が 0〜∞ のとき， 片側フーリエ変換 と呼ぶことがあります．

図の 赤 と 青 の2本の曲線は， g (t,σ) = u (t) ・e^{-σ t} という関数の 複素スペクトル （ 実部 と 虚部 ）

を表しています．

この関数の形状について， 簡単に補足しましょう．

正の実数 σ の値が小さいとき， g (t,σ) = u (t) ・e^{-σ t} の形状は時間 t について， なだらか に変化するため，

直流付近 に主要な 周波数成分 が集中します．

その結果， スペクトル F (s) は s平面 の原点付近で 尖った 形状になります．

一方， σ の値が大きくなると， g (t,σ) は時間 t について インパルス のように 尖った 形状となり，

その スペクトル F (s) は低レベルながら，低域から高域にかけて広く分散し 平坦 になります．

なお， 複素変数 s の実部 σ は離散値ではなく， 連続的 に変化することに注意が必要です．

このように， ラプラス変換 F(σ + jω) は s の実部 σ を一定に保ちながら，

原関数 f (t) に u (t) ・e^{-σ t} を乗じた関数を （片側）フーリエ変換 して求めた スペクトル を，

s平面 の右側にある 収束域 に2次元状に拡張したものです．

次に，逆の操作である 逆ラプラス変換 の イメージ を探ってみましょう．

逆ラプラス変換 の 定義 では，積分路が σ - j ∞ から σ + j ∞ となっています．

すなわち，虚軸に平行で実部が σ となる直線上を， ω について -∞ から +∞ まで積分します．

逆ラプラス変換 では s の増分 ds を用いて積分するため，

σ が一定となる 積分路 の場合，その 増分 は ds = j dω で表されます．

このため， 定義式 の係数 1/(2πj) の j の項が消え， 逆フーリエ変換 の式が導かれます．

単位ステップ関数 u (t) の ラプラス変換 は F (s) = 1 / s となりますが，

これを 逆ラプラス変換 すると，元の 単位ステップ関数 u (t) が再現されることを示しましょう．

下の図の 赤 と 青 の曲線は， σ > 0 となる直線状の積分路における u (t) ・e^{-σ t} という関数の

複素スペクトル を表しています．

同じ値の σ を用いてこの 複素スペクトル を 逆フーリエ変換 すると， u (t) ・e^{-σ t} が

再現されることは明らかです．

この結果を e^{-σ t} で割ると，（すなわち e^{σ t} を乗じると），原関数の ユニット関数 u (t) が得られます．

これらの 操作 を式で表すと次のようになります．

ところで，上の図を眺めていると，ある 不思議 なことに気付きます．

それは， 原関数 f (t) を復元するためには F (s) の値を s の 全領域 にわたって求める必要はなく，

σ > 0 となる 任意の積分路 における F (s) の値があれば十分であるという事実です．

すなわち， 積分路 の選び方にはある 自由度 が残されています．

さらに， 逆ラプラス変換 の定義式では， 変数 s の扱いが 積分記号 の内側と 積分路 で異なっており，

一種の 不自然さ が感じられます．

例えば 収束因子 e^-st の複素数 s は， s平面 上の1点を， ds は s平面 上の微小な 変化量 を表しており，

これらは 直交座標 や 極座標 などの 座標系 に依存しない 一般的な表現 が用いられています．

一方， 積分路 については， 水平軸の σ に直交する 直線上 を実数の ω で積分しています．

すなわち， 直交座標系 が指定されており， これを ブロムウィッチ積分 と呼びます．

式の表現上の 統一性 から類推すると， 直交座標 や 極座標 などに依存しない複素表現の 積分路 による

定義式 があっても不思議ではありません．

詳しくは次節で述べますが， 一般化した複素表現の積分路 C を用いて， 原関数 f (t) と 像関数 F (s) を結び付ける

新たな 関係式 が存在し，これを 複素関数 の 著名な定理 から導出することが可能です．

その本質を理解するためには， 正則 な 複素関数 や 複素積分 の性質に関する知識が必要となりますが，

詳細は 専門書 等に委ねることにして， 次節でその 概要 を紹介します．

フーリエ変換 では， 像関数 の F (ω） が 複素スペクトル という 物理量 を表しており，

入力信号やシステムの特性を評価する 有用な指標 として， F (ω） の形状が議論されます．

一方の ラプラス変換 では， 像関数 の F (s） は 拡張 された一種の スペクトル を表していますが，

それ自体が 物理的な指標 として用いられることはほとんどなく， ある 原関数 f (t) に

ひとつの 像関数 F (s) を対応付ける 数学的写像 の一手法として扱われます．

本節では，その抽象度を高めることにより ラプラス変換 を スペクトル の束縛から解放し，

解析接続 という手法を用いて，従来の 像関数 を s平面 全体に拡張した新たな 像関数 の性質について検討します．

3.1　ラプラス変換の収束域について

フーリエ変換 では積分値が 発散 し，その スペクトル が確定しないケースがしばしば発生します． 　　

例えば， f (t) = 1 の フーリエ変換 F(ω) では， ω = 0 のとき 1 という値を - ∞ から + ∞ まで積分するため 　　

∞ に 発散 します．

このため，実際には存在しない 超関数 の デルタ関数 δ(ω) を導入する必要がありました．

一方の ラプラス変換 では， Re (s) = σ の値を大きく設定することにより，積分の 収束性 が高まりますが，

像関数 の F (s) ごとにその 収束域 を考慮する必要があります．

例えば， 単位ステップ関数 の 像関数 F (s) = 1 / s に s = -1 を代入すると， -1 という値が得られます．

この -1 という値は，もはや スペクトル を表していません．

なぜなら， このとき Re (s) < 0 となり， ラプラス変換 を計算する過程で 0 に収束するということで消え去った

という項が ∞ に発散するためです．

このため， スペクトル も ∞ に発散します．

ラプラス変換 が スペクトル という 物理量 を表現する限り， このような 収束性 を

無視することはできません．

そこで，その抽象度を高めることにより， スペクトル という 物理量 による拘束から解放し，

極めて有用な 解析手段 となる ラプラス変換 の 新たな解釈 を示します．

3.2　像関数 F(s) の定義域拡大

ここでは ラプラス変換（狭義） の 収束域 において，その 像関数 F (s) に完全に一致し，

s 平面全体で 定義 される新たな 複素関数 F~(s) について検討します．

このような操作を 解析接続 と呼びますが，その詳細は後ほど述べることにして，

具体的な例を用いて説明しましょう． 　

先に示したように， 原関数 f (t) が 単位ステップ関数 のとき，その 像関数 は F (s) = 1 / s となり，

その 収束域 は s 平面 の右半分になります．

下の図は新たな 像関数 の F~(s) = 1 / s を表していますが，その 定義域 が s 平面 全体に

拡張されており， s = 0 を除く，すべての s について F~(s) の値が存在します． 　

すなわち， F~(-1) = -1 が成立します．

いうまでもなく， Re (s) = σ > 0 の 収束域 では f (t) = u (t) の 像関数 F (s) に一致しています． 　

図の左は F~(s) の 実部 ， 右は 虚部 を表しており， いずれも s = 0 で ∞ に発散します． 　

ここで， 変数 s の ±の符号 を反転させると F~(-s) = - 1/s = - F~(s) となり， 　

s = 0 の 原点 について 奇対称 の関係になっています． 　

すなわち， 収束域 である s平面 の右側の値が， 原点 について点対称となるよう

左反面 に射影されています． 　

また 実部 を， 垂直な回転軸 を中心に 90° 回転させると 虚部 に一致します． 　

このように 解析接続 された新たな 像関数 F~(s) = 1 / s は， s = 0 の 原点 を中心とする

対称性 があり， 原点 を除いて 有限 な値となります．

なお ラプラス変換 の 定義 に立ち戻ると， 0〜∞ の 定積分 において t = 0 の項のみに着目し，

t = ∞ の 項 は無視しています．

一般には F~(s) と F (s) はその 収束域 が異なるだけで，実質的な違いはありません． 　

本資料でもこれに倣い，これ以降 F~(s) を単に F (s) と記述することにします． 　

3.3　像関数 F (s)の特徴量とは？

一般に， 像関数 F (s) の 全体 と 部分 は，ある 統一 された シンプルな法則 により支配されており，

一定の 特徴量 により記述されます．

例えば 例題2 で示したように， 指数関数 e^-αt の 像関数 F (s) = 1 / (s + α) の 形状 を決定する

パラメータ は ２つ あり， 分母 が 0 となる s の値 -α と， 分子 の 1 になります．

この -α は，上の図の 縦軸 の値が ∞ に発散する s平面 上の位置を示しています．

なお， s = -α において F (s) は ∞ に 発散 しますが，それ以外は 有限な値をもちます． 　　

すなわち， F (s) にはその 大きさ や 向き を表す指標が存在し， 分子 の 1 という値がそれに相当します．

山に例えると， １つ目の パラメータ は，縦軸 が ±∞ に発散する ピーク の 水平面内 の 位置 であり，

２つ目の パラメータ は， 有限 な部分の 高さ やその 向き を決定する 係数 に相当します．

なお，この例の パラメータ は 実数 でしたが，一般には 複素数 となることに注意が必要です．

このとき ピークの位置 とその 高さ を決めれば， 山麓 の部分的な地形が完全に定まります．

逆に， 山麓 の部分的な地形が決まれば， ピークの位置 や 高さ ，さらに 頂上の反対側 の地形等が

すべて定まります．

このような性質により，任意の σ > 0 に対応する 積分路 を用いて， 像関数 F (s) を ω で積分した場合でも，

原関数 f (t) が復元されるわけです． 　　

次に， 単位ステップ関数 u (t) 以外の 像関数 F (s) の 形状 について調べてみましょう．

下の図では， 原関数 f (t) が 単位ステップ関数 ⇒ 指数関数 ⇒ 減衰振動関数(cos) ⇒ 三角関数(cos) ⇒

単位ステップ関数 ⇒ … のように連続的に推移しています．

これらは，それぞれ 例題1 ， 例題2 ， 例題5 ， 例題3 に対応しています．

振動しない 単位ステップ関数 と 指数関数 では， ピーク の数はともに 1つ で同じ形状をもち，並行シフトすると重なります．

一方， 振動を伴う 減衰振動関数(cos) と 三角関数(cos) の場合，回転方向が異なる2つの コイルばね の

重ね合わせ で表されるので， ２つ の ピーク が現れます．

なお，これらは虚部の±の符号を反転した 複素共役 の関係にあります．

複素関数論 では，しばしば 正則関数 や 孤立特異点 ， 極 ， 留数 などの概念が用いられます． 　

厳密な 定義 や関連する 定理等 を記述すると， ラプラス変換 の範疇を逸脱するので， 　

それらは関連する 専門書 等に委ねることにして， ここではその イメージ を中心に説明します． 　

初めに 正則 という概念について示します． 　

複素平面 のある 開集合 D ∋ s のあらゆる点 s において， 複素関数 g (s) が 微分可能 であるとき，

この関数は D において 正則 となります． 　

s = s₀ において 微分可能 とは， s₀ への近づき方によらず，以下に示す値が 一定 の場合を指します．

ここで注意しなければならないのは， 1つの点 s₀ において微分可能であっても 正則 とはいえないことです．

このとき，

として，以下に示す コーシー・リーマンの方程式 が導かれます．

上で示した 微分 の 定義 から，実軸の σ と，虚軸の jω に沿って 偏微分 した結果が等しくなり，

以下の式が成立します．

この式の 実部 と 虚部 を比較することにより， コーシー・リーマンの方程式 が導かれます．

複素平面 では，ある点 s₀ への近づき方が 上下左右 の 2次元的 な広がりをもつので， 　

実関数 の 微分可能 に比べより強い制約が課され， 結果として 実関数 からは想像できない 　

シンプル で 美しい性質 が付与されます． 　

一方， 正則な領域 D の内部にあって， s 平面 を 反時計方向 に 一周 する任意の 単一閉曲線 C について 　

周回積分 した値は 0 になります．すなわち，

が成立し，これを コーシーの積分定理 と呼びます．

この定理は， グリーンの定理 と コーシー・リーマンの方程式 から導くことができますが，

この後で述べるように， 正則 な 領域内 で 積分路 を変更しても 積分 の結果は

影響を受けない根拠となっています．

複素関数 g (s) の 分母 が 0 となる s のことを 特異点 と呼びます．

この 特異点 は， 極 ， 真正特異点 ， 分岐点 に分類されますが，ここで扱うのは 極 です． 　

以下，具体的な例で説明しましょう．

例えば， n が 正の整数 のとき，次の g (s) は 無限遠点 s = ∞ を除いて 正則 となります．

さらに項数が増えた

についても，同様に 無限遠点 s = ∞ を除き 正則 となります．

一方，

の場合は， 原点 s = 0 を除いて 正則 となり，この 孤立特異点 を n 位の極 といいます．

また， 正の整数 m について

として，

の場合， 分母 の h (s) が 0 となる m 個の 孤立特異点 を除いて 正則 となります．

なお，この場合の 個数 は， 重解 を複数にカウントした値です．

これらの 特異点 では， 複素関数 の値が ∞ に発散するので，例外的な事象と

感じられるかもしれませんが， むしろ 複素関数 の性質を特徴付ける 顔 のような存在と

考えることができます．

一般に， 複素関数 についても 実関数 と同様， 微分 や 積分 を定義することができます．

例えば n を整数として， １価関数 の f (s) = sⁿ を s で 微分 すると， f ' (s) = n s^n-1 が得られます．

同様に， f (s) = sⁿ を 積分 すると， ∫f (s) ds = sⁿ⁺¹ / (n + 1) + 定数 の形になります．

ここで扱うのは， s平面 上のある 曲線 に沿った 線積分 であり， いわゆる 定積分 に相当します．

さらに， 積分路 の 始点 と 終点 が一致するとき， 周回積分 となります．

実関数 の場合， 始点 と 終点 が一致すれば，その 積分値 は 0 になりますが，

複素関数 では少し 異なる性質 が現れます．

ここでは， 複素関数 f (s) = sⁿ を 原点 を中心に， 反時計方向 に 周回積分 する場合について，

下の図を用いて説明しましょう．

積分操作 では， 変数 s の 変分 Δs は， σ の正の軸上から 反時計方向 に 1周 します．

例えば， f (s) = 1 のとき， 変分 Δs を 積分路 C に沿って加算したものであり，

その 累積値は， 図の中央に示すように C に一致します．

このとき， 定積分 の 始点 と 終点 が 一致するため，その 積分値 は 0 になります．

一方， f (s) = s を 周回積分 すると，その 積分値 は原点を中心に ２周 することになり，同様に

始点 と 終点 が一致するので 0 となります．

同様に， f (s) = s² の 周回積分 も 0 となります．

これらの 複素関数 は，いずれも 無限遠点 を除く s平面 全体で 正則 となり，

先に示した コーシーの積分定理 の結果に一致します．

次に， f (s) = sⁿ が 正則 とはならない n < 0 の場合について整理しましょう．

例えば， n = -1 すなわち， f (s) = 1 / s のとき， s = 0 は 孤立特異点 となり，

1 / s の値は σ の正の軸上から 時計方向 に 1周 します．

このとき，図のように 変分 Δs の回転成分が打ち消され， jω 方向の 純虚数 になります．

これより， 積分路 C に沿って1周すると，その積分値は 2πｊ となることが分かります．

一方， f (s) = 1 / s² のとき，その値は，図のように 時計方向 に２回転します．

このため，その 積分値 は，時計方向に１回転することになり，

始点 と 終点 が 一致するので，その 積分値 は 0 になります．

このように， 複素関数 の f (s) = sⁿ を，その 孤立特異点 を1周するよう 周回積分

するとき，その 積分値 は， n = -1 のとき 純虚数 2πｊ となり，

それ以外は 0 となることが分かります．

次に， 留数 について説明します．

複素関数 f (s) が s = a に 孤立特異点 をもつとき， s = a における 留数 は以下のように定義されます．

ここで， 積分路 の C は， s = a を中心に反時計方向に1周する 単一閉曲線 です．

例えば， 孤立特異点 が 1位 の 極 であるとき， その 留数 は次のように求められます．

先ほどの図で示したように， 像関数 の形状を決定する パラメータ は，山の ピークの位置 とその 高さ（+ 向き） です．

複素関数 の用語を用いると， ピークの水平面内の位置は 孤立特異点（極） ，山の高さ（+ 向き）は 留数 になります．

なお， 原関数 が 指数関数 のとき，像関数の分母が s の 1次式 となるので， 1位の極 となります．

例えば， 原関数 f (t) が 単位ステップ関数 u (t) の場合， 像関数 は F (s) = 1 / s となるので， s = 0 が 1位の極 ，

その 留数 は 1 となります．

同様にして，例題2の 指数関数 の場合， 像関数 は F (s) = 1 / (s + α) となるので， s = -α が 1位 の 極 ，

その 留数 は 1 となります．

三角関数 の cos (ωt) の場合， 1位 の 極 が ２つ 現れ， s = jω と s = -jω になります．

また， 留数 はいずれも 1/2 です．

一方， sin (ωt) の 極 は cos (ωt) の場合と同じですが，それらの 留数 は 1/2 j と -1/2 j という

共役複素数 になるので，注意が必要です．

n を 正の整数 として 原関数 が t ⁿ で表されるとき， その 像関数 F (s) の 分母 は s の (n + 1) 次式 となります．

この場合の 孤立特異点 を (n + 1) 位 の 極 と呼びますが，その詳細については後ほど説明します．

なお，ここでは 像関数 F (s) 単体の 留数 を示しましたが， ラプラス逆変換 の場合 F (s) e^st の 留数 を

扱うことあるので混同しないよう注意が必要です．

先に述べたように， s 平面 のある 領域 D で 正則 な 複素関数 は， D 内のあらゆる点 a において，

コーシー・リーマンの方程式 が成立します．

このとき， s 平面 の a 点とその近傍の 2点 がなす 角度 は， F (s) 平面 の F (a) と

その近傍の 2点 がなす 角度 に等しくなる性質があります．

これを 等角写像 と言います．

次の図に，この 等角写像 の イメージ を示します．

なお，これまでの表示法と異なり，左が s 平面，右が対応する 像関数 F (s) = 1 / s の平面を表しています．

この場合，左側の 赤 と 青 の点は，それぞれ右の 赤 と 青 の点に対応しています．

この図で， 赤 と 青 の直線群あるいは曲線群が，互いに 直角に交差 していることに注意して下さい． 　

3.4　解析接続とは?

ラプラス変換（狭義） の 収束域 において，その 像関数 F (s) に完全に一致し，

極 などの 孤立特異点 を除いて s 平面全体で 正則 となる新たな 複素関数 F~(s) が

ただ1つ存在します．

これは，複素関数における 一致の定理 から導かれます． 　

この 像関数 F (s) を 解析接続 することにより， F~ (s) が得られます． 　

以下，原関数として 単位ステップ関数 u (t) を選び，その 像関数 F (s) = 1 / s について， 　

具体的な 解析接続 のイメージを示します． 　

像関数 F (s) = 1 / s の収束域は， Re (s) > 0 ，すなわち s平面 の 右半分 になります． 　

この 収束域内 に点 s = a を選んで，この点を中心とする 小さな円 を設定し，

特異点 を跨がないようにして その半径を増やしてゆきます． 　

下の図に示すように，点 a の選び方によっては，この 円の領域 は s平面 右側の 　

収束域 をはみ出すことがあります． 　

次に，はみ出した 円の領域内 に新たな点 b を設定し，上と同様の処理を繰り返すことにより， 　

この 領域 を次々に拡大してゆきます． 　

この領域は，最終的に 特異点 s = 0 を除く s平面 全体に拡がります． 　

以上の操作がいわゆる 解析接続 であり，最終的に F (s) から F~(s) を導くことが可能です． 　

この 解析接続 では，先に述べた テイラー展開 を用います． 　

ここで 像関数 f (s) = 1 / s の 導関数 は，以下のようになります． 　

これより a ≠ 0 のとき， f (s) は s = a において，以下のような べき級数 で表されることが分かります． 　

この べき級数 は 等比級数 となり，その 公比 は 　

となることから， 　

の条件を満たすとき収束します． このとき， f (s) は， 　

のようになり，この円内の任意の s について，円の中心 a と同じ f (s) = 1 / s という関係が成立します． 　

なお，収束の条件は 　

のように表すことができます． 　

これは，中心が s = a ，半径が |a| の円の内部を表し，その境界はすべて 特異点 s = 0 を通ります． 　

すなわち， 収束域 内の点 s = a を中心とする 円の内部 のすべての点は， 　

1 / s という関数で表されることが分かります． 　

このような操作を繰り返すことにより， 収束域 の外部へ 1 / s という関数で表される領域を 　

次々に拡張することが可能です． 　

3.5　原関数と像関数の対応

基本的な 原関数 とその ラプラス変換 の 対応関係 を，以下の表に示します．

なお，これらの 像関数 はいずれも １位の極 をもっています．

このように， 原関数 f (t) が 指数関数 や 三角関数 の場合， 対応する 極 と，その 留数 から，

簡単にその 像関数 F (s) を求めることができます．

ここでは，像関数 F(s) が １位の極 をもつとき， 逆ラプラス変換 は コーシーの積分公式 において，

g (s) を 指数関数 とした場合に一致することを示します．

はじめに コーシーの積分公式 を示します．

この式で， g (s) は 領域 D において 正則 となる任意の関数であり，

a は 領域 D における任意の点， 積分路 の C は 領域 D 内にあり，

点 a を正方向，すなわち 反時計方向 に１周する 単一閉曲線 とします．

この 公式 は，以下の テイラー展開 の式から導かれます．

この式を 積分公式 の右辺に代入します．

ここで，先に述べたように 1 / (s - a) の 周回積分 は 2πj となりますが，他の項はすべて 0 となることを用いています．

次に， g (s) を次の 指数関数 とします．

このとき

となり，

とおくと，

が導かれます．

この式において a を -a に置き換えます．すなわち，

のとき，

が成立し， 積分路 C を除くと 逆ラプラス変換 の式に一致します．

これより， 原関数 の e^-at と， 像関数 の 1 / (s + a) が，1対1に対応することが分かります．

コーシーの積分定理 と 積分公式 から， 孤立特異点 を 反時計方向 に1周するという条件を満たしさえすれば，

積分路 C は 自由 に変更することができます．

その 積分路 を変更するイメージを下の図に示します．

はじめに， ジョルダンの補助定理 を用いて， 直線状の積分路 に半円状の経路を追加し，

反時計方向 に 周回する積分路 に変更します．

次に， コーシーの積分定理 を用いて， 孤立特異点 を跨がないよう， 周回積分 の経路を修正します．

経路長 を短くしてゆくと，最終的に 孤立特異点 を周回する2つの円状の積分路に到達します．

すなわち， 周回積分 の値は，最終的に 孤立特異点 の位置とその 留数 のみにより定まることを示しており，

これから，いわゆる 留数の定理 が導かれます．

この式で， g (s) は 領域 D において 正則 となる任意の複素関数であり，

a は 領域 D における任意の点， 積分路 の C は 領域 D 内にあって，

点 a を正方向に１周する 単一閉曲線 とします．

例えば n = 1 のとき， グルサの定理 は次のようになります．

これは，以下の テイラー級数 から導くことができます．

この式を グルサの定理 の右辺に代入します．

ここで， 1 / (s - a) の 周回積分 は 2πj となりますが，他の項はすべて 0 となることを用いています．

次に， g (s) を次の 指数関数 とします．

このとき

より，

が成立し，最終的に

が導かれます．ここで， a を -a に置き換えると，

となり，さらに

とおくと，

が成立し，右辺は 積分路 を除くと 逆ラプラス変換 の式に一致します．

これより， 2位 の極をもつ 像関数 の 1 / (s + a)² と， 原関数 の t e^-at が，1対1に対応することが分かります．

同様にして， (n+1)位 の極をもつ 像関数

について，

が得られることは明らかです．

フーリエ級数 では， 積分範囲 が -∞ から +∞ となっているので， 発散の問題 が 常に付きまといます．

そこで，この 発散 を 回避 する手法が重要となり， 対象する 関数 f(t) の 絶対値の積分 が

有限 となる 「 絶対可積分 」の条件を付加したり， δ関数 をはじめとする 超関数 を導入する必要がありました．

一方の ラプラス変換 では， 発散の様相 がその 像関数 F(s) の表現に直接的に反映されています．

以下，具体的な事例を用いて補足しましょう．

一言で「 発散 」と表現しますが， その状況は必ずしも一様ではありません．

例えば 原関数 f(t) = e^αt のとき，その ラプラス変換 F(s) は以下のようになります．

ここで s=α は 孤立特異点 であり， ( sの実部 ) > ( αの実部 ) のとき，右辺の第2項は 0 に 収束 します．

なお， e ^{(α - s) t} の値は， s=α において一定の値 1 になり,

時間 t で 0 から ∞ まで 積分 するので，当然のことながら 発散 します．

これらの操作は， 発散 や 収束 を伴う 回転 e^{α t} を 静止 させて観測するプロセスに他なりません．

ここで， f (t) = tⁿ e^{α t} として， s = α を代入すると，

のように いずれも発散 しますが，その 速度 は 次数 n につれて 大きく なります．

その影響は， 分母 (s-α) の 指数 ，すなわち 孤立特異点 s =α の 位数 (n+1) に表れています．

一方， f (t) = e^{α t} の 像関数 F(s) の第2項は， ( sの実部 ) < ( αの実部 ) のとき 発散 しますが，

解析接続 の処理で除去されることになり，それらの影響が 像関数 F(s) に反映されることはありません．

以上をまとめると， A _i ， s _i を任意の 複素数 ， n _i を 非負の整数 (0,1,2,…) として，

対象とする関数 f (t) を，以下のような 単純な関数 の 重ね合わせ で表せるとき，

ラプラス変換 の 線形性 により，その 像関数 F (s) は以下のように求められます．

すなわち， ラプラス変換 は e ^{(si - s) t} の項が 時間 t によらず 定数 1 となり， その 積分値 が

発散 するような s 平面上 の 孤立特異点 s _i を用いて， その 位数 が (n _i +1) となる 写像 を

行っている ことが分かります．