コンピューターは０と１で情報を扱うと前に話しました。これを意識してプログラムを扱うときには、１０進法では少し考えにくくなってしまいます。この章ではそんなときに便利な概念について話します。

　では、今回の要点です。

　では、いってみましょう。

　さて、私たちは普段の生活で何の疑問もなしに１０進数を使っています。（疑問を持って使っている人は、なかなか数学の素質があるかもしれませんね。）１０進数とは、０〜９の１０個の数字を使って表現された数のことです。数が無くなってしまう「９」の次は、桁をあげて「１０」と表現するのですね。

　しかし、同じような理屈を使えば、０〜２でも、０〜６でも数値を表現することができます。新しい数字を作れば、２０進数でも１００進数でも表現することができます。

　そして、たとえ３進数で表現されていても、７進数で表現されていても、１００進数で表現されていても、違う形であれ同じ数値を表現することが出来ます。（小数では循環小数になってしまうこともありますが。）そして、全ての表現は全く等価なのです。

　では、先ずは考えやすい所から、０〜４の５個の数字を使った、５進数を考えてみましょう。

　先ず、上の１０進数の定義に、５進数用の条件を当てはめてみましょう。すると、「５進数とは、０〜４の５個の数字を使って表現された数のことです。数が無くなってしまう「４」の次は、桁をあげて「１０」と表現します。」となることが分かります。これが５進数です。

　では、実際に数を表現してみましょう。０の次は１です。１の次は２です。え？　当たり前だって？　まぁ、我慢して下さい。

　では、４の次はいくらになるのでしょうか？　そうですね。１０です。１０の次は１１で、１１の次は１２です。

　そして、今度は１４の次はいくらになるのでしょうか？　そうですね。２０です。では、４４の次は？　これは１００になりますね。

　何だかとても当たり前のことを書いてますね。そして、これを当たり前のことだと思えることが大事です。

　では、５進数と１０進数の２つを同時に考えてみましょう。紛らわしいので、５進数は（１２４）５のように、１０進数は（１２４）１０のように表現します。

　小学校の時に、

２１９＝１００×２＋１０×１＋１×９

というようなことをやった覚えがあります。当時は「そんな当たり前のことを何でいちいちするんだ」と思いましたが、これはｎ進数を理解するときに助けになります。

　たとえば、（３２４）５を分解してみましょう。

（３２４）５＝（１００）５×３＋（１０）５×２＋１×４

となりますね。（１０）５とは、（４）５の次の数です。つまり、（５）１０の事になります。（１００）５は、（１０）５×（１０）５なので、（２５）１０になります。

　よって、上の式は

（３２４）５＝（２５）１０×３＋（５）１０×２＋１×４

と書き換えることが出来ます。つまり、（３２４）５＝（８９）１０になります。このようにすれば、５進数から１０進数へ簡単に変換出来ることが分かります。

　では、１０進数から５進数を簡単に求める方法を考えてみましょう。

　さて、何の疑問もなく

（３２４）５＝（１００）５×３＋（１０）５×２＋１×４

という式を作りましたが、これは次のような手順をもって作ったとも考えられます。

　先ず、（３２４）５÷（１０）５を行います。すると、（３２）５...（４）５になりますね。この余りが（１）５の位に当たります。

　今度は次に、その時の商（３２）５を（１０）５で割ります。すると、商が（３）５になり、（２）５が余りになります。そして、この余りが今度は（１０）５の位に当たります。

　で、さらに、今度の商（３）５もついでに（１０）５で割ると、商はもちろん０になり、余りは（３）５になります。この余りが（１００）５の位に当たります。

　（１）５の位、（１０）５の位、（１００）５の位というのは、このような計算から求められるのです。

　「何を回りくどいことを」と思うかも知れませんが、こうやれば各位が求められることは分かるでしょう。

　さて、ここからが本番です。ここで上の文の５進数で表記されている部分を１０進数に直してみましょう。ただし、「（１）５の位」とかいう部分は除きます。すると、以下のようになります。

　これが１０進数から５進数を求める方法です。０〜４までは５進数でも１０進数でも同じなので、上のことから（８９）１０＝（３２４）５という事が分かりますね。

　上では５進数を例にとって考えましたが、このことは何進数にでも適応できます。前者は進数の小さいものから大きいものへの変換、後者は進数の大きいものから小さいものへの変換にあたります。

　ということで、いよいよ２進数と１６進数の話に進みます。

　「コンピューターは０と１を使って数値を表現している」と第２１章で話しました。これは「０と１という２個の数字を使って数値を表現している」ことになるので、２進数です。つまり、上の文は「コンピューターは２進数を使って数値を表現している」と書き換えることが出来ます。

　しかし、０と１だけで数値を表現すると、例えば（１２３４５）１０＝（１１００００００１１１００１）２となり、非常に長くなってしまいます。これでは人間にとってはあまり実用的ではないので、プログラムをするときは８進数か１６進数を使います。

　１６進数は０〜９だけでは数字が足りないので、Ａ〜Ｆの６個のアルファベットを「数字」と見なして使います。「０〜Ｆという１６個の数字を使って数値を表現している」わけです。

　（１０）８＝（１０００）２で、（１０）１６＝（１００００）２です。つまり、８進数では２進数の３桁が丁度１桁に対応し、１６進数では２進数の４桁が丁度１桁に対応します。

　え？　唐突すぎるって？　では、（１００１０１０１）２を例に取ってじっくり考えてみましょう。

　では、先ず（１００１０１０１）２を８進数に直してみましょう。先にやった変換方法をちょっと変則的にした方法で直します。

　さて、やはりここは分解です。（１００１０１０１）２は

（１００１０１０１）２＝（１００００００）２×（１０）２＋（１０００）２×（０１０）２＋（１）２×（１０１）２

のように分解できます。

　さて、もう分かりましたね。（１０００）２＝（１０）８と言いました。すると、（１００００００）２＝（１００）８になります。（１０）２＝（２）８、（１０１）２＝（５）８なので、上の式は

（１００１０１０１）２＝（１００）８×（２）８＋（１０）８×（２）８＋（１）８×（５）８

となり、（１００１０１０１）２＝（２２５）８となります。

　これは、（１００１０１０１）２を３桁ずつ区切って（１０：０１０：１０１）２とし、各ブロックを変換したのと同じ事になります。

　１６進数でも同じ事です。（１００１０１０１）２を４桁ずつ区切って（１００１：０１０１）２とし、各ブロックを変換すると、（９５）１６となります。まぁ、各ブロックの変換はしなければなりませんが、１０進数と比べるとずいぶん変換しやすいことが分かります。

　Ｃ／Ｃ＋＋言語では８進数と１６進数を表現できます。８進数は頭に「０」をつけて、１６進数は頭に「０ｘ」を付けて表現します。１６進数のＡ〜Ｆは大文字でも小文字でも構いません。

num = 214;  // １０進数
num = 0326; // ８進数
num = 0xD6; // １６進数

　ただ、残念ながら２進数は表現できません。８進数か１６進数に直して表現しなければなりません。

　また、８進数だと８桁の２進数、つまり１バイトの数値をブロックに分けると２桁：３桁：３桁という形になり、１６進数だと４桁：４桁という綺麗な形になることが分かります。２，４バイトの数値になると８進数では１バイト目と２バイト目，２バイト目と３バイト目の間に区切りが来ません。ということで、プログラムでは主に１６進数を使います。

　ではこれを実際にどう活用するのか...は次回以降にまわして、今回はこのくらいで終わりにします。

　では今回の要点です。

　今回はかなり長くなってしまいました。次回はもう少し短くしたいと思いますが...。では、次回まで。

第４４章　いろんな計算を | 第４６章　ビットでいじろう

Last update was done on 1999.11.23

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